Рассмотрим теперь слагаемое V*, входящее в выранение для дополнительной энергии. Задаваемые в точках (узлах) параметры функции напряжений не являются при анализе заданными величинами, и, кроме того, соответствующие им параметры деформации не имеют важного для приложений физического смысла. Поэтому методика, в которой узловые параметры деформации являются за-данны.ми величинами, не имеет в настоящем рассмотрении никакого значения, и можно считать К*=0. Тогда, согласно (6.68) и (7.35),

и,=и*=ЦФ J/2)[/=4 {Ф},

и очевидно, что вариация по Ф приводит к следующему результату: [F] {Ф}=0*. Однако ясно, что в рассмотрении мы еще не выделили реально действующих нагрузок. Выполняя это, получим ограничения, обеспечивающие правильный характер решения.

Рис, 7.9.

Чтобы описать методику, рассмотрим случай плоского напряженного состояния. На стороне элемента, параллельной оси х, действует нормальное напряжение о, как изображено на рис. 7.9. Согласно (4.4), в любой точке на этой стороне дФ/дх=Оу. Дважды интегрируя это выражение и определяя константы интегрирования через Ф и дФ/дх=Ф в концевых точках (т. е. через Ф/, Ф-, Фд:, Ф, получим

(7.36а)

-Ф,+Ч/-Фх,.а=И-

(7.3бЬ)

Так как задана и является функцией только от х, то можно вычислить интегралы в соотношениях (7.36а, Ь). Таким образом, получим два уравнения, которые задают ограничения. Учитывая аналогично все остальные граничные условия для напряжений.

* Если существуют начальные деформации или объемные силы, то справа стоит не нуль. Однако это обстоятельство не меняет причин, побуждающих строить ограничения, учитывающие поверхностные нагрузки.

7.6. Свойство верхней грани для решения

получим дополнительные ограничения. Сохраняя введенные ранее обозначения, запишем полную систему уравнений, задающих ограничения в виде

[G1 {Ф}={8}. (7.37)

Эти ограничения можно учесть с помощью метода множителей Лагранжа (см. разд. 7.3) либо с помощью метода конденсации (п. 3.5.2). Используя первый метод и обозначая через вектор множителей Лагранжа, выпишем следующий расширенный функционал дополнительной энергии:

П? = [F] ]Ф; -f L Ч [G] ]Ф}- L J (7.38)

Варьируя по {Ф} н J, получим

\F ОЛ f Ф\ / О

G О

(7 39)

Эта система разрешима, потому что указанные выше ограничения, соответствующие движению тела как твердого целого, включены в эту систему. Они фигурируют и в уравнениях (7.37), если эти уравнения выписаны для системы приложенных нагрузок, которые полностью уравновешены. Так как в анализе обычно имеются неизвестные реакции опоры, которые не позволяют определить полную самоуравновешенную систему поверхностных сил, то, вообще говоря, необходимо учитывать эти условия путем непосредственной модификации глобальной матрицы податливости.

Подробное изложение способов построения ограничений, реализующих для различных напряженных состояний силовые граничные условия, приводится в работах (7.5, 7.61.

Следует заметить, что указанные построения строго отвечают принципу минимума дополнительной энергии для всей конструкции только в том случае, если вид распределения прикладываемых напряжений вдоль границ элементов совпадает с видом выбранных полей напряжений в элементах, которым эти границы принадлежат. Если это не так, то уравнения, задающие ограничения (например, (7.37)), отвечают лишь приближенному удовлетворению условий, которые должны выполняться точно в принципе минимума дополнительной энергии.

7.6. Свойство верхней грани для решения, получаемого

с помощью принципа минимума дополнительной энергии

Действительное решение, получаемое с помощью принципа минимума дополнительной энергии, при определенных условиях обладает следующим свойством: значения коэффициентов влияния для пере-

мещений представляют собой верхнюю грань для значений указанных коэффициентов, которые получаются в пределе при уменьшении размеров ячеек сетки.

Рассмотрим случай, когда задаваемые перемещения равны нулю, так что У*=0 и n=t/*. Для единственной прикладываемой нагрузки Pi и вызванного этой силой перемещения Д, имеем

и*==РАЛ. (7.40)

Сравним точное и приближенное значения дополнительной энергии деформации, замечая, что точное значение представляет собой минимум. Следовательно,

t/exact<bapprox, (7.41)

И после подстановки (7.40) в (7.41) приходим к неравенству

арргох>

(i)exacl (f I (f \ (i)approx /7 доч

Jp U i(/exact V/парргох pj > \)

T e. приближенное значение fa оказывается верхней границей.

Как для верхней границы решения, обсуждавшейся выше, так и для нижней границы (минимум потенциальной энергии) можно дать физическое объяснение. Приближенное решение, основанное на принципе минимума дополнительной энергии, характеризуется разрывными полями перемещений, и поэтому оно более податливо по сравнению с точным решением. На решение, получаемое при помощи принцийа минимума потенциальной энергии и характеризующееся непрерывным, но приближенным полем перемещений, накладываются ограничения. Поэтому оно жестче точного решения.

Смешанные и гибридные формулировки не обладают свойствами нижней НЛП верхней границ. Однако можно доказать, что они приводят к решениям, лежащим в промежутке между указанными пределами Предположим, например, что в гибридном методе напряжений поле напряжений удовлетворяет условиям равновесия не только внутри элемента, но и при переходе через границу элементов. Тогда традиционная формулировка на основе принципа минимума дополнительной энергии для этого поля приведет к решению, соответствующему верхней грани ( высоко податливое решение). Выбор поля перемещений на границе в гибридной формулировке накладывает некоторые ограничения на конечно-элементное представление, уменьшает податливость и смещает получаемые решения в сторону точного решения. При этом, конечно, имеется возможность перегрузить ограничениями аналитическое представление и проскочить точное решение в сторону нижней границы , соответствующей перемещениям, обусловленным граничным полем перемещений.