Литература

7.1. Fox R., Stanton Е. Developments in Structural Analysis by Direct Energy Minimization.-AIAA J , June 1968, 6, No. 6, p. 1036-1042 [Имеется перевод- Ракетная техн. и космон.- М.: Мир, 1968, № 6.J

7.2. Fried I More on Gradient Iterative Methods in Finite Element Analysis.- AIAA J , Mar, 1969, 7, No. 3, p. 565-567. [Имеется перевод. Ракетная техн. и космон - М Мир, 1969, № 3.]

7.3. Greene R. Е , Jones R Е , McLay R. W., Strome D R Generalized Variational Principles in the Fmite-Element Method.-AIAA J., July 1969, 7, No. 7, p. 1254-1260 [Имеется перевод Ракетная техн. и космон - М. Мир, 1969, № 7.]

7.4. Harvey J , Kelsey S. Triangular Plate Bending Element with Enforced Compatibility.-AIAA J., June 1971, 9, No 6, p. 1023-1026 [Имеется перевод: Ракетная техн и космон.- М.: Мир, 1971, № 6 ]

7.5. Gallagher R. Н., Dhalla А. К. Direct Flexibility Finite Element Elastoplas-tic Analysis -Proc First Internatl Conf on Struct. Mech in Nuc React. Tech., Berlin, 1979.

7 6 Morley L S. D The Triangular Equilibrium Element in the Solution of Plate Bending Problems.-Aero. Quarterly, May 1968, 19, p. 149-169

7.7. Tong P., Plan T. H H. Bounds to the Influence Coefficients by the Assumed Stress Method.-Int. J. Solids and Structures, 1970, 6, p. 1429-1432.

Задачи

7.1. Разлагая соответствующие произведения матриц, проверьте, что конденсацию системы уравнений жесткости можно осуществить, полагая равными нулю силы, отвечающие исключенным степеням свободы, и строя матрицу преобразования, отвечающую этому базису (т е. проверьте подстрочное прим. в разд. 2.7). 7.2. Вычислите смещение свободного края нагруженной на конце консольной балки (см. рис. Р7 2). С этой целью постройте матрицу жесткости для конусообразного элемента, выбирая коническую конфигурацию для элемента и функцию формы, отвечающую конструктивному элементу постоянного поперечного сечения. Проведите расчеты для одно- и двухэлементного представлений и проверьте для решений свойство нижней границы [/=Ji{\-42{x/Lf) ]

7.3. Разработайте методику решения и выведите основные матричные соотношения, позволяющие учесть начальные деформации в матричном методе сил (методе, основанном на принципе минимума дополнительной энергии).

7.4. Выполните расчет матричным методом сил в задаче 3 5, однако без рассмотрения пластинчатых элементов.

8 Ki 2547

Высказанные соображения имеют смысл только тогда, когда имеется привязка к известным значениям для верхней и нижней границ решений, и справедливы в пределах, определяемых полями, на которых строятся решения. Это значит, что степень сложности граничного поля перемещений в гибридном методе напряжений должна в некоторой мере соответствовать предполагаемому внутреннему полю напряжений. Более сложные представления могут оказаться неэффективными. Оценки к указанным рассмотрениям можно найти в [7.7].

7.5. Решите иллюстративную задачу из гл. 3 (рис. 3.4 и 3.6), используя подход, основанный на минимизации квадратичной функции от узловых перемещений (см. (7.11) и (7.12)).

Рис. Р7.2.

7.6. Два прямоугольных элемента, изображенных на рис. Р7.6, должны быть

соединены. Перемещения v для соответствующих элементов вдоль линии соединения равны

2(2)

1И =

х{2х2 - х) 1 +

2 +

2(x- J

nx \ 4x2

Выпишите в алгебраической форме ограничение, которое необходимо наложить, чтобы обеспечить непрерывность перемещений в точке 2. 7.7. Постройте матрицу жесткости для изображенной на рис. Р7.7 балки в терминах степеней свободы w, Q2 и 6. Далее задайте условия непрерывности угло-

------:s }r(

Рис. Р7.7. Элементы Л и В имеют одинаковую изгибную жесткость El.

вых смещений в шарнире с помощью метода множителей Лагранжа и найдите прогиб в точке 2. В заключение поставьте и решите задачу, добиваясь непосредственно непрерывности угловых смещений в точке 2. Найдите внутренний изгибающий момент в точке 2 и сравните полученный результат с результатом, найденным с помощью метода множителей Лагранжа.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТА И ЕГО ГЕОМЕТРИИ

До сих пор обсуждение методов построения элементов носило достаточно общий характер и давало возможность применять теории, основанные на допускаемых напряжениях, функциях напряжений, полей деформаций и перемещений. Займемся теперь проблемой выбора указанных полей, или функций поведения, на систематической и рациональной основе, наиболее пригодной для численной реализации алгоритмов метода конечных элементов. Учитывая, что построение элементов на основе предполагаемых перемещений получило более широкое распространение, последующее обсуждение будет затрагивать в основном вопросы выбора функций перемещений. Однако в настоящее время усиливается интерес к использованию формулировок на основе напряжений или функций напряжений, а также гибридных формулировок, причем почти все рассуждения, приводимые здесь для функций перемещений, применимы и для других типов функций.

В начале главы изучаются общие условия, которым должны удовлетворять выбираемые представления функций поведения. Далее обсуждаются вопросы задания указанных представлений в виде полиномиальных рядов. Затем описывается регулярный подход к построению представлений в терминах физических степеней свободы, т. е. в виде функций формы. Для треугольных (двумерных) элементов этот подход реализуется посредством использования треугольных координат, а для тетраэдра (трехмерный случай) - тетраэдральных координат. Далее описываются концепции, лежащие в основе интерполяции семейств функций для двух- и трехмерных четырехугольных и шестигранных элементов.

Полезная концепция, согласующаяся с идеей функционального представления параметров поведения, заключается в представлении конфигурации элемента в той же форме. Это позволяет определить элементы более сложных очертаний, например произвольные