8.1. Требования к представлению функций поведения элемента

Одно из преимуществ использования вариационных принципов при формулировке соотношений для элемента в конечно-элементном анализе заключается в том, что они помогают установить требования к пробным функциям или полям, описывающим поведение элемента. Можно записать следующие основные условия, вытекающие из вариационных и других соображений:

1. Выбираемые функции должны обладать определенной гладкостью (которая диктуется вариационной формулировкой) внутри элемента, а также при переходе через границы, разделяющие элементы одного и того же типа или имеющие одни и те же функции формы вдоль указанных границ формы.

2. Построенные на базе выбранных функций соотношения, связывающие силы и перемещения, должны давать нулевую энергию деформации при движении тела как твердого целого.

3. Выбираемые функции должны включать представления постоянных величин для соответствующих напряжений или деформаций.

Согласно условию 1, необходимо, чтобы пробные функции были дифференцируемы столько раз, каков наибольший порядок производных в функционале вариационной задачи. Иначе члены, содержащие указанные производные, обратятся в нуль или возникнет какое-либо другое несоответствие. Существование производных п-го порядка требует, чтобы в полиномиальном представлении функций поведения фигурировали по крайней мере члены /г-й степени. Очевидно, нетрудно выбрать функцию, удовлетворяющую этому аспекту условия 1.

Условие 1, удовлетворяющееся при переходе границы, разделяющей элементы, называется условием межэлементной непрерывности. В разд. 6.3 показано, что если при построении соотношений между силами и перемещениями используется вариационный принцип, то условие 1 вытекает из требования однозначного определения интеграла (функционала), соответствующего указанному вариационному принципу. В частности, требуется непрерывность всех производных до порядка, на единицу меньшего максимального порядка производной в функционале. При выборе функций поведения, удовлетворяющих рассматриваемому аспекту условия 1, в конечно-элементном анализе возникают более серьезные трудности. Для

четырехугольники или элементы с криволинейными границами. Этот подход, названный изопараметрическим представлением, также рассмотрен в этой главе.

8.1. Требования к представлению функций поведения элемента 229

простых элементов возможны регулярные методики построения требуемых функций, которые рассматриваются в этой главе ниже.

Решение, строго соответствующее принципу минимума потенциальной энергии, при построении Пр требует рассмотрения полей перемещений, обладающих межэлементной совместимостью. Если ищется решение, отвечающее принципу минимума дополнительной энергии, то при построении П необходимо использовать функции, задающие равновесные поля напряжений, удовлетворяющие условиям равновесия на границах, разделяющих элементы. Как было показано в разд. 7.2 и 7.6, указанные решения обладают тем преимуществом, что для них могут быть установлены границы изменения определенных параметров решения. Кроме того, можно доказать монотонную сходимость этих параметров при измельчении сетки разбиения [8.1, 8.2].

Учитывая сказанное, будем уделять особое внимание определению функций, которые удовлетворяют требованиям классических вариационных принципов. Однако следует отметить, что некоторая степень межэлементной непрерывности требуется для функций, фигурирующих и в альтернативных принципах (принцип Рейсснера, гибридные принципы и т. д.), и даже для межэлементно несовместимых полей, которые соответствуют традиционным вариационным принципам на стадии формулировки конечных элементов. При построении глобальных уравнений необходимо потребовать непрерывности функций, задающих физические степени свободы.

Для существования решения, основанного на принципе минимума энергии, необходимо выполнение условия 2. В разд. 2.9 показано, что число мод движений тела как твердого целого, содержащихся в системе уравнений жесткости элемента, можно определить, подсчитав собственные значения матрицы коэффициентов жесткости. Это условие сводится к требованию, чтобы упругие деформации не возникали при движении тела как твердого целого. В случае простых элементов нетрудно проверить это требование. Например, для изображенного на рис. 5.4 треугольного элемента деформация е определяется, согласно (5.21а) и (5.22), в виде

е=(1/х2г/з) (-г/зИ1+ зИ2).

Так как при движении тела как твердого целого Ui=Ui, поэтому ея.=0. Аналогичные условия выполняются для и уу.

Во многих формулировках сознательно нарушается условие 2, если представление движения тела как твердого целого выбранными функциями перемещений требует чрезмерно сложных выражений и операций при построении соотношений между силами и перемещениями для элемента. Это особенно справедливо, если построение осуществляется в криволинейных координатах. С целью упрощения построений для большого числа формулировок криволиней-

НЫХ элементов допускается указанное нарушение условия равенства нулю деформаций при движении тела как твердого целого. Численные эксперименты [8.3, 8.4] показали, что невыполнение этого условия для некоторых элементов ухудшает, но не исключает сходимость решения к правильному результату.

Более серьезные последствия возникают при нарушении условия 3. Невозможность аппроксимировать поле постоянных деформаций приводит к тому, что решение сходится к неверному результату и в некоторых случаях ошибка значительна. Ранее в некоторых случаях считалось целесообразным строить поле перемещений элемента, которое не аппроксимирует состояние постоянной деформации; в других случаях это состояние исключалось из рассмотрения неумышленно. Сходимость к неправильному решению происходит из-за того, что при измельчении сетки деформированное состояние внутри отдельного элемента должно стремиться к состоянию с постоянной деформацией. Однако этого не происходит, так как указанного состояния в рассматриваемом представлении нет. Пример подобной ошибочной формулировки дается в разд. 12.2.

Ниже рассмотрим два основных класса представлений функций поведения. Это - представления в виде полиномиальных рядов и функций формы. Указанные выше вопросы изучаются для обоих классов.

8.2. Полиномиальные ряды

Простейший способ аналитического описания функций поведения элемента состоит в представлении их в внде полиномиального ряда, коэффициенты которого являются обобщенными параметрами а/. Даже в том случае, когда поле элемента записано в терминах функций формы, функции формы можно рассматривать как преобразования полиномиального поля.

При обсуждении полиномиальных рядов будем рассматривать для простоты двумерный случай и предположим, что поле Л описывается единственной величиной Д. Запишем указанные полино-

миальные ряды в виде Д=д;-/£/*аг, или

A=lpim)J{a}, (8.1)

где п - полное число членов ряда, а верхние индексы jwk - целые показатели степени, значения которых связаны с нижним целочисленным индексом I следующим образом:

i=/Ai+k) (i+k+l)+k+L (8.2)

Кроме того, через т обозначен порядок полинома, т. е. наибольшее значение показателя степени отдельного члена ряда (наибольшее