значение суммы целочисленных показателей степени / и k). Полином называется полным полиномом некоторого порядка, если он содержит все члены указанного порядка и ниже. Матрица-строка p(m)J представляет, в частности, вектор пространственных переменных полного полинома т-го порядка. Число членов в полном полиноме дается выражением

n=V2(m+l) (т+2). (8.3)

В качестве примера рассмотрим полный линейный полином

А=а1+а2Х+азу= L Р (О J {а}.

Здесь /г=3, что согласуется с (8.3). Кроме того, для второго члена /=1 и k=0, откуда, согласно (8.2), i=2.

При изучении многих вопросов, связанных с полиномиальными рядами, удобно пользоваться так называемым треугольником Ла-скаля. Он имеет вид

1 (константа - 1 член)

азУ (линейная функция - 2 члена)

, , (квадратичная функция -

а,х а,ху а,у 3 члена)

a-jX аху Одху аУ (кубическая функция -4 члена)

а х* аху а ху а.ху а.у* 5 ноТ * ~

и т. д. для полинома любого порядка. Треугольник Паскаля показывает сразу, сколько членов имеется в полном полиноме любого заданного порядка.

Как правило, число обобщенных параметров выбирается равным числу узловых степеней свободы элемента. Хотя этот случай и был рассмотрен в гл. 5 и 6, далее изучим его вновь для завершенности изложения и для выявления свойств, не обсуждавшихся ранее.

Определение обобщенных параметров в терминах узловых степеней свободы завершается определением полиномиальных разложений для каждой степени свободы. При этом получаем столько уравнений, сколько существует степеней свободы. Выписывая их в виде (8.1), получаем

{А}=[В1{а}. (б.За)

Коэффициенты матрицы [В] - целые числа или функции, зависящие от размеров элемента. Обобщенные перемещения записываются в терминах узловых степеней свободы, а именно

{а}=[В]-ЧА}. (5.4а)

Из (8.1) имеем

A=Lp(m)J[B]-4A}=LN J{A} (8.2а)

ИЛИ ДЛЯ ПОЛЯ А более общего вида

А = [р(т)] [B]-4A}=[N] {Л}, (5.5а)

где матрицы-строки заменены на прямоугольные матрицы, имеющие число строк, равное числу компонент поля А. В некоторых случаях, например когда геометрические характеристики элемента определяют зависимость одной степени свободы от другой, матрица [В] может стать вырожденной. Это происходит также тогда, когда комбинация членов в полиноме представляет функцию формы, обращающуюся в нуль во всех узлах. Такая нулевая функция формы соответствует тому, что ранг матрицы [В] понижается на единицу.

Выбору числа членов в полиномиальном представлении, т. е. числу компонент в [а], следует уделить особое внимание. При этом вначале необходимо рассмотреть условия из разд. 8.1. Требованиям на движение тела как твердого целого и постоянные деформации легко удовлетворить для описываемых в книге одномерных плоских и трехмерных элементов за счет непосредственного выбора рядов, в которые входят константы и линейные члены.

Удовлетворить условиям межэлементной непрерывности не так просто. Напомним, что, согласно рассуждениям, приведенным в предыдущих главах, если описание функции вдоль границы, разделяющей элементы, однозначно задается степенями свободы вдоль указанной границы, то межэлементная непрерывность данной функции сохраняется вдоль указанной границы, отделяющей рассматриваемый элемент от соседнего элемента. Например, если для описания перемещений элемента выбрана кубическая функция, то для описания функций на каждой границе элемента необходимо иметь четыре независимые степени свободы.

Объединяя приведенные рассуждения с идеей геометрической изотропии [8.5], можно установить критерий выбора необходимого числа членов в полиномиальном представлении функции поведения элемента. Геометрическая изотропия обусловливает сохранение всех членов для полинома данного порядка при любой замене координатных осей декартовой системы координат.

Согласно (8.3), полное допустимое числов членов в полном двумерном полиномиальном представлении т-го порядка равно V2(m+1) (m+2). Рассмотрим плоский многоугольник с Ш сторонами. Требуется выразить параметр А в виде полиномиального разложения в терминах значений этой величины, вычисленных в заданных точках лишь на границе элемента. Если требуется, чтобы этот полином однозначно определялся на каждом участке границы, то его необходимо задавать там с помощью т+1 точки. Общее число точек, которое необходимо задать для всего полинома на границе, равно Ш(т+\)-Ш=Шт (следует учесть, что к каждой из вершин многоугольника сходятся две стороны). Приравнивая допустимое число коэффициентов, задаваемое согласно (8.3), требуе-

Рис. 8.1. Треугольные элементы с узлами по периметру: (а) простой трехузловой; (Ь) шестиузловой.

Можно построить и другие треугольные элементы, удовлетворяющие приведенным выше условиям, если смягчить требование, согласно которому все узлы лежат на границе элемента. Это делается в разд. 8.5. В качестве узловых степеней свободы можно также рассматривать производные от функции поведения. Прямоугольные элементы не удовлетворяют указанным условиям, если полный полином определен, как указывалось выше, даже при смягчении требования на принадлежность узлов границам элементов и задании степеней свободы только через значения самой функции. На этом аспекте акцентируется внимание в разд. 8.4.

Приведенные выше рассуждения можно перенести на трехмерные напряженные элементы и пластинчатые изгибаемые элементы. При этом следует отметить два обстоятельства. Во-первых, здесь необходимо добавить формальное математическое определение полноты ряда. Согласно этому определению, если функция А представлена рядом SujAj, то требуется, чтобы

Это условие выполняется для полиномиальных представлений.

Во-вторых, еще раз подчеркнем, что можно определить элементы и строить для них полиномиальные разложения, которые не удовлетворяют условиям межэлементной совместности. Результирующие формулировки оказываются вполне приемлемыми, если не считать отсутствия уверенности в достижении верхнего или нижнего пределов решения.

Полиномиальные выражения, записанные в терминах обобщенных смещений, можно непосредственно использовать при построении матрицы жесткости элемента, соответствующей указанным обобщенным смещениям. Это было проведено в гл. 5 и 6 при построении основных матриц элемента и в гл. 7 в связи с рассмотрением обобщенных вариационных принципов. Полученные таким образом

мому числу точек, получим

7Л + 1)(т + 2) = ЭТт. (8.4)

Это условие выполняется лишь при 91=3 и т=1 или т.=2. Эти

элементы, имеющие вид простого треугольного и шестиузлового треугольного элементов, изображены на рис. 8.1.