Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73  74  75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

матрицы жесткости могут служить опорными матрицами жесткости, которые можно преобразовать в матрицы, соответствующие альтернативным физическим степеням свободы.

1 -г, и

1>

Рис. 8.2. Четырехузловой стержневой элемент.

Рассмотрим, например, четырехузловой стержневой элемент, изображенный на рис. 8.2, модель которого надо построить на базе кубического полинома:

Основная формула для опорной матрицы жесткости, согласно (6.18), имеет вид

[к-] =

S [Cr[E][C]rf(vol)

(6.18)

в нащем случае d(vo\)=Adx, [Е]=Е, а матрица преобразования обобщенных перемещений в деформации [С] имеет вид матрицы-строки LpJ, где LpJ =(/)Lp(3) J. поэтому

AE \ {p}LPJd

Если требуется определить матрицу жесткости элемента, соответствующую физическим степеням свободы i, и, з и 4, необходимо выписать преобразование обобщенных смещений в узловые смещения. В данном случае это преобразование записывается в виде

О О О П

L L 1

i2Ly {2Lf 2L 1 (3L) (SL) 3L 1

Обращая стоящую в правой части равенства матрицу, получим матрицу, задающую преобразование аи . . ав щ, . . ., . Далее это преобразование применяется к опорной матрице жесткости обычным образом.



Рис. 8.3. Интервалы для интерполяции Лагранжа. (а) Разбиение на интервалы при рассмотрении физических координат; (Ь) разбиение на интервалы при рассмотрении естественных координат.

Расположение точек определяется физическими координатами Xi, Xi, . . ., Требуется определить функцию А, принимающую

определенные значения Aj, А2, . . ., А. в этих точках. Это можно осуществить, придавая полиному т-го порядка в данных точках указанные значения. Результирующее выражение имеет вид

А= :S ЛА-LNJiA}.

Кроме ТОГО, можно отнести метрицу жесткости к граничным смещениям (uj, U4) и производным от смещений в указанных точках (dujdx, dujdx). В этом случае вид преобразования полностью совпадает с приведенным в гл. 5 для изгибаемого элемента (за исключением знака в выражениях для производных) и здесь не приводится.

8.3. Непосредственное построение функций формы с помощью процедуры интерполяции

Хотя полиномиальное представление предполагаемых полей перемещений полезно для задания полноты функций и выполнения определенных условий, а также подчас существенно в некоторых подходах, используемых в конечно-элементном анализе, чаще предпочтительнее задавать рассматриваемые поля непосредственно в терминах узловых степеней свободы, т. е. в виде функции формы. Это можно осуществить с помощью процедуры интерполяции. В этом разделе продемонстрируем применение этой процедуры к функциям формы в одномерном случае.

8.3.1. Интерполяция Лагранжа

Интерполяция Лагранжа позволяет определить коэффициенты полиномиального представления функции через значения функции в точках прямой.

Рассмотрим прямую, изображенную на рис. 8.3(a), разделенную на сегменты равной длины с помощью (т+1) точки 1,2, . . ., т+1.

X 1 3 1 т~\ т т + \ -.-.-i не-е i-e- -,

О \ } , t m- т

-- - -( с ( Л



(x~Xi) (х-х) ... (х-х )

{ХтХ-Хд(Х1 - Х2) ... (ДС + 1-ДС )*

в качестве примера рассмотрим простейший стержневой элемент с двумя узлами, т. е. с т=\. В этом случае Xi=0 и

Д = £=Д,.+£д = (1 Л)д. + Лд,

ЧТО является обычным представлением для этого типа элемента. Д 2 3

20 11

Рис. 8.4. Трехузловой стержневой сегмент - альтернативные формы нумерации узлов, (а) 02 Нумерация узлов для физических координат; (Ь) нумерация узлов для естественных координат.

Для трех точек на линии (рис. 8.4(a)) имеем /п=2. Опять Xi=0 и при равномерном разбиении л;з=2л;2. Таким образом,

д {х-Х2){х-2х2) д 2X2 -X д , х(х~х д

\ х1 1- *

Альтернативная форма представления координат узлов на прямой использует естественные координаты, которые получаются при переходе от физических координат к безразмерной системе, причем естественные координаты принимают в узлах значения О

где, очевидно, члены Ni-функции формы, так как yV,=l для Д/ и Nt=0 для Ду, Указанные действия были выполнены уже в разд. 5.1 при составлении соотношений {Д}=[В1 {а} и разрешении их относительно {а}. К счастью, для одномерного случая уже имеется в наличии формула, полученная Лагранжем:

Ni = П {х-XjVTL {Xi-xj), (8.6)

где символом П обозначено произведение указанных разностей Цх-Xj) или {Xi-X])] в заданном диапазоне изменения /.

В развернутой форме рассмотренные выражения запишутся в следующем виде:

{х - н){.х - хз) ... (x - x +i) (Xi - Хг) (Xi-Xs) ... {xi~x +i)

(Х-Х1){х-Хз) ... {X-X +i)

а (x-xi) (х-хз) ... (x2-x +i)




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73  74  75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!