матрицы жесткости могут служить опорными матрицами жесткости, которые можно преобразовать в матрицы, соответствующие альтернативным физическим степеням свободы.

1 -г, и

1>

Рис. 8.2. Четырехузловой стержневой элемент.

Рассмотрим, например, четырехузловой стержневой элемент, изображенный на рис. 8.2, модель которого надо построить на базе кубического полинома:

Основная формула для опорной матрицы жесткости, согласно (6.18), имеет вид

[к-] =

S [Cr[E][C]rf(vol)

(6.18)

в нащем случае d(vo\)=Adx, [Е]=Е, а матрица преобразования обобщенных перемещений в деформации [С] имеет вид матрицы-строки LpJ, где LpJ =(/)Lp(3) J. поэтому

AE \ {p}LPJd

Если требуется определить матрицу жесткости элемента, соответствующую физическим степеням свободы i, и, з и 4, необходимо выписать преобразование обобщенных смещений в узловые смещения. В данном случае это преобразование записывается в виде

О О О П

L L 1

i2Ly {2Lf 2L 1 (3L) (SL) 3L 1

Обращая стоящую в правой части равенства матрицу, получим матрицу, задающую преобразование аи . . ав щ, . . ., . Далее это преобразование применяется к опорной матрице жесткости обычным образом.

Рис. 8.3. Интервалы для интерполяции Лагранжа. (а) Разбиение на интервалы при рассмотрении физических координат; (Ь) разбиение на интервалы при рассмотрении естественных координат.

Расположение точек определяется физическими координатами Xi, Xi, . . ., Требуется определить функцию А, принимающую

определенные значения Aj, А2, . . ., А. в этих точках. Это можно осуществить, придавая полиному т-го порядка в данных точках указанные значения. Результирующее выражение имеет вид

А= :S ЛА-LNJiA}.

Кроме ТОГО, можно отнести метрицу жесткости к граничным смещениям (uj, U4) и производным от смещений в указанных точках (dujdx, dujdx). В этом случае вид преобразования полностью совпадает с приведенным в гл. 5 для изгибаемого элемента (за исключением знака в выражениях для производных) и здесь не приводится.

8.3. Непосредственное построение функций формы с помощью процедуры интерполяции

Хотя полиномиальное представление предполагаемых полей перемещений полезно для задания полноты функций и выполнения определенных условий, а также подчас существенно в некоторых подходах, используемых в конечно-элементном анализе, чаще предпочтительнее задавать рассматриваемые поля непосредственно в терминах узловых степеней свободы, т. е. в виде функции формы. Это можно осуществить с помощью процедуры интерполяции. В этом разделе продемонстрируем применение этой процедуры к функциям формы в одномерном случае.

8.3.1. Интерполяция Лагранжа

Интерполяция Лагранжа позволяет определить коэффициенты полиномиального представления функции через значения функции в точках прямой.

Рассмотрим прямую, изображенную на рис. 8.3(a), разделенную на сегменты равной длины с помощью (т+1) точки 1,2, . . ., т+1.

X 1 3 1 т~\ т т + \ -.-.-i не-е i-e- -,

О \ } , t m- т

-- - -( с ( Л

(x~Xi) (х-х) ... (х-х )

{ХтХ-Хд(Х1 - Х2) ... (ДС + 1-ДС )*

в качестве примера рассмотрим простейший стержневой элемент с двумя узлами, т. е. с т=\. В этом случае Xi=0 и

Д = £=Д,.+£д = (1 Л)д. + Лд,

ЧТО является обычным представлением для этого типа элемента. Д 2 3

20 11

Рис. 8.4. Трехузловой стержневой сегмент - альтернативные формы нумерации узлов, (а) 02 Нумерация узлов для физических координат; (Ь) нумерация узлов для естественных координат.

Для трех точек на линии (рис. 8.4(a)) имеем /п=2. Опять Xi=0 и при равномерном разбиении л;з=2л;2. Таким образом,

д {х-Х2){х-2х2) д 2X2 -X д , х(х~х д

\ х1 1- *

Альтернативная форма представления координат узлов на прямой использует естественные координаты, которые получаются при переходе от физических координат к безразмерной системе, причем естественные координаты принимают в узлах значения О

где, очевидно, члены Ni-функции формы, так как yV,=l для Д/ и Nt=0 для Ду, Указанные действия были выполнены уже в разд. 5.1 при составлении соотношений {Д}=[В1 {а} и разрешении их относительно {а}. К счастью, для одномерного случая уже имеется в наличии формула, полученная Лагранжем:

Ni = П {х-XjVTL {Xi-xj), (8.6)

где символом П обозначено произведение указанных разностей Цх-Xj) или {Xi-X])] в заданном диапазоне изменения /.

В развернутой форме рассмотренные выражения запишутся в следующем виде:

{х - н){.х - хз) ... (x - x +i) (Xi - Хг) (Xi-Xs) ... {xi~x +i)

(Х-Х1){х-Хз) ... {X-X +i)

а (x-xi) (х-хз) ... (x2-x +i)