Рис. 8.5. Естественные координаты в одномерном случае.

ния от точки i до точек 1 и 2, определенные через Lt и La, обезраз-мерены так, что

Li+L,= l. (8.7)

Следовательно, согласно данному выше определению естественных координат, Li= 1 в точке 1 и Li=0 в точке 2, Li= 1 в точке 2 и 1=0 в точке 1.

Теперь можно задать координату х узла в виде

x=LiXi+L2X2. (8.8)

Объединяя (8.7) и (8.8), запишем

1 1

Xi х

(8.9)

и после обращения матрицы получим следующее выражение для Li и Lj через физические координаты х и х-

(*2 -*l)

х, -1--х, 1.

/1 1

(8.10)

В этой связи подчеркнем, что задание граничных точек линии точками 1 и 2 служит лишь для того, чтобы ввести естественные координаты, соответствующие полной длине этой линии. Если разбить весь отрезок на несколько сегментов, то внутренние и граничные точки обозначаются различным образом.

Естественные координаты позволяют в простом виде представить функции формы для линий, разделенных на любое число сегментов. С этой целью удобно перенумеровать узлы согласно схеме на рис. 8.3(b). Самой крайней с левой стороны точке присваивается номер О, а самой правой - номер т. Построение функции формы сводится к выбору интерполяционного полинома т-го порядка, проходящего через эти точки.

Обозначая вновь типичную степень свободы через i, выпишем формулу перехода к естественным координатам в виде следующей

ИЛИ 1. Поэтому применение естественных координат является полезным при задании функций формы.

Чтобы ввести естественные координаты в одномерном случае, рассмотрим изображенный на рис. 8.5 сегмент длиной х. Расстоя-

интерполяционной формулы Лагранжа:

(8.11)

= 1 для 1 = 0.

Аналогичная формула справедлива и для Ni{Li). Прежде чем выписать полную функцию формы, заметим сначала, что каждый узел может быть идентифицирован указанием положения относительно двух граничных точек элемента. Используем ниже индексы р ч q, где р обозначает число узлов, лежащих справа от рассматриваемой точки, а q - число узлов, лежащих слева. На рис. 8.4(b), например, три узла обозначены как 20, 11 и 02. Им соответствуют функции формы Лго, Лп и Лог. Задэдим теперь функцию формы в виде

Л =N,iU)NiL,), (8.12)

где NpiU) и Ng(Li) даются формулой (8.11) с соответствующей заменой I на р и q.

Для рассмотренного выше элемента имеем (при т=2) N(11) = = Li(2Li-l), N,(U)L2(2U-\), N,(U)2Lu N,(U)=2U No(Li)=NoiLi)=0. Тогда представление функции перемещений в естественных координатах имеет вид (здесь узловые перемещения помечены теми же нижними индексами, что и функции формы)

= L, (2L, -1) А, + 4L,L,A + L, (2L, -1) А ,.

При определении L, и La в (8.10) следует заменить на Хог, а х, на 20. Чтобы проверить соответствие выписанного выражения с предыдущим заданием этой функции в терминах физических координат, необходимо определить преобразование координат, представленных на рис. 8.4(b), к координатам на рис. 8.4(a). Приведенное выше выражение оказывается тождественным с полученным для этого случая ранее, за исключением того, что нижние индексы у х на единицу меньше (в нашем случае Xi соответствует х из проведенного ранее построения).

Используя функции формы, выраженные в терминах Lf и Lj, в формуле для матриц жесткости элемента (см. разд. 6.2), получим

интегралы вида ЦЦйх, где а - полная длина элемента. Одним о

из преимуществ использования безразмерных координат и является возможность получения явного алгебраического выражения для выписанного интеграла [8.6], Чтобы показать это, заметим

(8.13)

{b + c+l)\

Заметим, что 0! = 1.

Далее в книге не используются одномерные естественные координаты. Однако проведенное рассмотрение закладывает основу использования указанных координат в двух- и трехмерном случаях, где выгоду от их применения трудно переоценить.

8.3.2. Эрмитова интерполяция

В задачах изгиба требуется аппроксимировать как функцию, так и ее производные. В других случаях, когда представление первой производной не существенно, может оказаться желательным ввести

Рис. 8.6. Степени свободы для эрмитовой интерпо- 1

ляции кубическим полиномом в одномерном случае.

первую производную и даже производные более высокого порядка в качестве степеней свободы. Это можно осуществить с помощью эрмитовой полиномиальной интерполяции, к рассмотрению которой мы переходим ниже.

Рассмотрим нормированный интервал, соединяющий точки 1 и 2, в координатах l,=x/L, как показано на рис. 8.6. Требуется построить функцию А, которая вместе со своими производными до (/и-])-го порядка включительно удовлетворяет рассматриваемым условиям в граничных точках. Эта функция может быть записана в виде

сначала, что Lj=l-Li и dx=ad. Таким образом,

5L*Lfc/a:=jL*(l-L,)ad.

После преобразования интеграл имеет вид [8.7]

где Г(Ы-1), Г(с+1), Т{Ь+с+2) - гамма-функции, для которых Г(Ы-1)=Ы и аналогично для Г(с+1), Y {Ь+с+2). Следовательно,