(а) чдг <1з>

S /

aix ау

44x2 аху а(,у

a-jx \ аху ахуу а,оУ

a Jc* aixy \ аухуу axy a,x

(с) ajx дзу

\ 14 n аху 6/

\ \ /

S \ /

Рис. 8.8. Представление функций формы в терминах полиномиальных рядов! (а) билинейная интерполяция; (Ь) биквадратная интерполяция; (с) полиномиаль-ный базис для восьми узлового прямоугольника; (d) полиномиальный базис с ли> нейным разложением по х и квадратичным разложением по у (шесть узлов).

терполяции могут быть без труда определены согласно рис. 8.8(b). Это может быть выполнено и для представлений более высокого порядка при помощи соответствующих произведений.

Из рассмотрения треугольника Паскаля становится очевидным, что двумерная лагранжева интерполяция содержит полную систему членов порядка п в полиномиальном разложении и отдельные члены до порядка 2п. Линейная (первого порядка) интерполяция является полной относительно членов первого порядка (ах, ау) и неполной по отношению к членам второго порядка (так как члены с и г/

4 Рис. 8.9. Неравномерная интерполяция вдоль направлений X к у.

опущены, а имеется лишь член с произведением ху). Поскольку скорость сходимости определяется наивысшим порядком полного полинома [8.8], полное разложение в двумерном случае для прямоугольника применять неэффективно. Это одна из причин исключения определенных степеней свободы. Наличие внутренних узлов, как, например, в биквадратном или других представлениях более высокого порядка, вообще говоря, создает неудобства при оперировании с данными, поэтому требуются функции, выраженные в терминах узлов, принадлежащих лишь сторонам и вершинам элементов.

Простой способ достижения указанной цели иллюстрируется на рис. 8.9 и 8.8(d). Изображенный на рис. 8.9 прямоугольный элемент содержит шесть узловых точек, расположенных так, чтобы в направлении х имелась возможность для линейной интерполяции, а в направлении у - для квадратичной. На рис. 8.8(d) изображены соответствующие члены полиномиального разложения. Очевидно, что в этом случае можно использовать лагранжеву интерполяцию и выразить поле перемещений непосредственно через функции формы. Используя схему из (8.18), получим линейные интерполяционные функции для L J и квадратичные интерполяционные функции для LnJ И- кроме того, матрицу

А, Дг

д, д. д

Схема эрмитовой интерполяции распространяется на двумерный случай аналогично тому, как это делалось для лагранжевой интер-

поляции. Соотношение (8.18) и в этом случае рассматривается как основа подхода, однако здесь матрица IR] должна содержать степени свободы, равные производным от трансляционных степеней

Типичные степени свободы Ai, Д, Д , Дц

Рис. 8.10. Бикубическая эрмитова полиномиальная интерполяция.

свободы. Например, для пластины, изображенной на рис. 8.10, имеем (см. рисунок, где обозначены соответствующие степени свободы)

[/?] =

А?л, А. Л, Д . А. Д

а -л. Ля

тогда L N J = L il J . где Ni, . . ., Nn - эрмитовы

функции формы в направлении х, определенные в самом -конце п. 8.3.2. Аналогичным образом строится LNi,J.

а-,х

аохЬ

Пуху

адху

aijxy

а\оУ

Рис. 8.11. Бикубическое полиномиальное разложение.

Чтобы задать указанное выше соотношение для полиномиального разложения, необходимо лишь обратиться к рис. 8.11, согласно которому, как и предполагалось, исходя из матрицы (/?], в разло-