Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77  78  79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

8.5. Треугольные элементы

В случае треугольных элементов процедуры интерполяции тесно связаны с понятием треугольных координат. Эти координаты помогают не только построить функции формы, которые непосредственно относятся к узловым, а не к обобщенным степеням свободы, но также с их помощью регулярным способом обозначить узловые точки элемента. Другие преимущества использования треугольных координат становятся очевидными только после детальных рассмотрений.

Грань 1 / I \Грань 1


Рис. 8.12. Треугольные координаты.

Регулярный способ обозначения узлов в треугольных координатах может быть задан, как указано на рис. 8.12. В этом случае грани элемента определяются противолежащей вершиной. Например, грани 1 противолежит вершина 1. Исследуем сначала способы идентификации узла внутри треугольника. Если, как указано на рис. 8.12,

жение входит 16 членов. Данная функция формы изучается еще раз более подробно в разд. 12.2.

В зависимости от задачи необходимо определить различное число узлов на каждой из четырех сторон или же иметь одинаковое число узлов на каждой стороне, но исключить внутренние узлы. Если можно в каждом из случаев выделить соответствующие члены полиномиального разложения, то легко построить преобразование от обобщенных параметров полинома {а} к узловым перемещениям {А}, а затем с целью получения выражений в терминах последних разрешить эти соотношения (см. (5.3а) - (5.5а)). Внутренние узлы можно исключить, задавая полную интерполяционную функцию, выписывая энергию деформации для элемента и конденсируя нежелательные степени свободы с помощью процедуры, описанной в разд. 2.8. Альтернативным подходом служит непосредственное построение функций формы с помощью методики, обсуждаемой в разд. 8.7.



-111-

Х-£ ATg Xg

Ji у у .

Обращая матрицу, получим

1 = Фо. + ЬгХ + Ь2.у) (/ = 1,2,3), (8.22)

(8.23)

индекс i пробегает значения 1, 2, 3, и

А=Ч2(х2Уз+ХзУ1+Х1у-Х2Ух~ХзУ2-Х1Уз). (8.24)

Здесь Л, согласно обозначению,- площадь треугольника.

провести ИЗ данного узла внутри треугольника отрезки к его вершинам, то исходный треугольник разделится на три треугольника с площадями Ai, Аи A3, где нижние индексы соответствуют прилежащим граням. Треугольные координаты Li{i=\, 2, 3) суть по определению отношение площадей Ai ко всей площади А, т. е.

U=AJA, L2=AJA, Lз=Л,/Л. (8.19)

Кроме того, сумма указанных площадей равна А: Ах-\-Аа-\-Аь= =А. Разделив обе части соотношения на А, получим

Li+L2+L3=l. (8.20)

Очевидно, что, согласно п. 8.3.1, эти координаты являются естественными координатами треугольной области. Теперь треугольные координаты можно использовать для определения прямоугольных координат хну изображенной на рис. 8.12 точки. Имеем

x=LiXi+L2Xi+L3X3, у=иу1+12У2+Еяуз. (8.21)

Справедливость этого утверждения можно легко проверить. Действительно, предположим, что точку перемещают внутри треугольника до тех пор, пока она не совпадет с точкой 1. Тогда Ai=A, Л 2=Л 3=0 и Li=l, L2=L3=0. Следовательно, если х соответствует точке 1, то x=Xi. Очевидно, что треугольные координаты полностью совпадают с функциями формы для простого треугольного элемента с тремя узлами.

Геометрические характеристики элемента заданы с помощью координат вершин хну. Чтобы выразить Li, и Ls через эти данные, объединим (8.20) и (8.21) в следующую систему из трех уравнений;



Если сторона, соединяющая точки 1 и 2, расположена вдоль оси X и точка 1 помещена в начале координат {хх=У\=У2=0), то получим

-1 =

Ч Уз 1

(хУз-хуа-ху + ХаУ), (хУз-ХзУ), -

Уз

Эти члены совпадают с функциями формы Ai, N, N 3, заданными посредством (5.21а) для идентично расположенного треугольного элемента постоянной деформации.

Для того чтобы построить функции формы для элементов высокого порядка в треугольных координатах Lj, необходимо вначале определить способ задания и обозначения узлов указанных элементов. Эти рассуждения проиллюстрированы на рис. 8.13. Стороны

Грань 0

Вершина

Вершина


Рань ф.


вершина ©


Рис. 8.13. Нумерация узлов сетки для треугольных координат, (а) Сетка в направлении 1; (Ь) сетка в направлении 2; (с) сетка в направлении 3; (d) обозначение типичного узла pgr.

обозначаются по противолежащей вершине, например сторона 1 лежит против вершины 1. Нормаль к стороне определяет соответствующее направление. Штриховые линии на рис. 8.13(a) делят расстояние между стороной 1 и узлом 1 на т равных сегментов в направлении 1. Каждая линия пронумерована цифрами от О до т, причем линия с номером О совпадает со стороной 1. [Эти узлы не нумеру-




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77  78  79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!