Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78  79  80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

ются целыми числами от 1 до т+1, см. рис. 8.3(a), так как предыдущая нумерация более удобна. Аналогичный сдвиг при нумерации был проведен в одномерном случае на рис. 8.3(b).] На рисунке типичная линия разбиения обозначена символом р. Указанное разбиение приводит к появлению (m-f 1) узлов на сторонах 2 и 3 и, очевидно, создает предпосылки для построения поля перемеще-


@ 003




Рис. 8.14. Треугольники высокого порядка (а) Полный квадратичный полином (т=2); (Ь) полный кубический полином (т=3); (с) полный полином четвертого порядка (т=4); (d) полный полином пятого порядка (т-Ъ). 1, 2, 3 - вершины, соответствующие треугольным координатам L-i, L, L3

НИИ, основанного на полиномиальном представлении т-го порядка. Аналогичные построения можно провести для направлений 2 и 3, как показано на рис. 8.13(b) и (с), где типичные линии обозначены соответственно через q и г.

На рис. 8.13(d) показан способ идентификации некоторого узла. Узел задается тремя цифрами р, q н г ъ соответствии с обозначением типичных линий в трех направлениях. Заметим, что сумма трех чисел (p+q+r) равна т. Указанный способ идентификации точек иллюстрируется на рис. 8.14 для четырех видов разбиения треугольного элемента. Следует заметить, что узлы в вершинах также помечены цифрами 1, 2 и 3, соответствующими треугольным координатам.

При задании функции перемещений в треугольном элементе для узловых перемещений принимается та же нумерация, что и для соответствующих узлов, т. е. pqr. В соответствии с установившейся традицией разыскиваем функции перемещений для элемента в



A,(/i)=li(-) Для/>1

= 1 для 1 = 0

(8.11)

при i=p, q или г соответственно.

В качестве примера рассмотрим построение функции формы /V200. Имеем т=р=2, q=r=0, поэтому N =No(L2) = l, = = /V (L3)=l и

Л2 (/i) = Xi?ii±il = L,(2L, 1).

Следовательно, yV2oo=Li(2Li-1). Непосредственно устанавливается, что yVo20=L2(2L2-1), Л002=8(2£з-1), A011 = 4L2L3, yViio =

=4LiL2 и yVioi=4L3Li. Имеются случаи, когда желательно оперировать с обобщенными, а не с узловыми степенями свободы. При этом полезно знать, что полный полином степени т можно записать в треугольных координатах в виде

А = S aiLPLlLa (p + q + rm), (8.1а)

где в сумму входят все однородные члены степени т, т. е. показатели функций (}юрмы в точности определяются трехцифровыми ин-

виде

1/2 (т+1) (m + 2)

A=LNJ{A}= 2 Ля.г,г. (8.25)

Так, при т=1 функция перемещений дается формулой

A=yV,o Aio +/VoioAoio+/VooiAooi, (8.25а)

а для т=2, согласно рис. 8.14(a),

A=yV2ooA2oo+AiioAiio+. . .+Aioiioi (8.25b)

и т. д. для полинома любого порядка.

Теперь необходимо задать способ построения функций (}юрмы Np так, чтобы они удовлетворяли обычным условиям, накладываемым на данные функции (например, N = 1 в точке pqr; Npg=0 во всех остальных точках). Как показано в одномерном случае, этим условиям можно удовлетворить, задавая функции формы в виде произведений функций соответствующих координат и проводя лагранжеву интерполяцию в каждом из направлений. По аналогии с одномерным случаем для применяемой функции имеем

yVp (Lb и Ls)=N,{L,)N(L2)NAL ), (8.12а)

где члены в правой части соотношения задаются в виде



3{L L,) = iLiy(L,ydA.

Так как это выражение представляет собой частный вид (8.26) при d=0, b=e, c=f, то

3{1г, La) = 2А (4Д2)- (-26)

Имея в виду приведенные выше рассуждения, интересно отметить некоторые не столь заметные преимущества представлений в треугольных координатах. Во-первых, задание узлов в представ-

дексами узлов согласно рис. 8.14(a) и (Ь). Для кубического разложения, например, имеем

А = {LiY а, + (L,f а, + {Lf а, -f (L,) L,a, + {L.f L,a, +

Располагая выражением выписанного типа при построении опорной матрицы жесткости, можно использовать преимущества явных формул интегрирования для треугольного элемента.

Второй часто выполняемой при представлении полей в треугольных координатах операцией, особенно при рассмотрении соотношений между деформациями и перемещениями, является операция дифференцирования. Например, рассмотрим деформацию ej.= =ди/дх. Если рассматривается квадратичное поле перемещений, где и выражается в виде Л2оо 2оо+. . .+Aioi ioi, то первый член в выражении для равен

дх дх дх

Замечая, что, согласно определению Lj (8,22), dLildx=biJ2A (i= = 1,2, 3), поэтому

T = &(4L,-1).

И наконец, что наиболее важно, можно выписать простое явное выражение для интегралов, которое является также обобщением формул одномерного случая. Искомые интегралы имеют вид

2Ab\ cl dl

-(b+c+d+2)r (-26)

(Cp. с (8.13).) Из (8.20) вытекает, что только две координаты независимы и интеграл всегда можно преобразовать к виду




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78  79  80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!