Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81  82  83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

8.8. Изопараметрическое представление [8.11]

Изопараметрические элементы - это элементы, в которых функции, используемые для представления поведения при деформировании, используются также и для описания геометрических характеристик элемента. Построение изопараметрического элемента представляет собой преобразование безразмерного прямоугольного элемента с заданным числом узлов в реальный криволинейный элемент с тем же числом узлов. Так, если функции, задающие поле перемещений в формулировке, основанной на принципе минимума потен-


Рис. 8.19. Изопараметрические элементы.

циальной энергии, суть кубические полиномы, стороны элемента описываются теми же кубическими функциями. Если межэлементно совместные поля перемещений выбираются для описания геометрических характеристик элемента, то в объединенной аналитической модели деформированный элемент состыковывается с любым подобным ему соседним элементом без разрывов геометрических характеристик.

В двумерном анализе простейшим четырехсторонним изопараметрическим элементом является изображенный на рис. 8.19(a) элемент, в котором для обобщения прямоугольника на случай произвольного четырехугольника используется линейное поле. Лучшее задание криволинейных сторон достигается для элементов более высокого порядка, например изображенных на рис. 8.19(b) и (с).



8.8. Изопараметрическое представление [8.11] 259

где квадратичные и кубические функции, используемые для представления перемещений, применяются также для задания границ. Представляют, кроме того, практический интерес изображенные на рис. 8.19(d) и (е) элементы смешанного типа с различным числом узлов на каждой стороне и при наличии или отсутствии внутренних узлов.

Несущественно, что те же самые функциональные представления для перемещений используются и для задания геометрических характеристик элемента. Если порядок функций, представляющих геометрические характеристики, ниже порядка функциональных представлений для перемещений, то рассматриваемые элементы называются субпараметрическими; если же порядок функций, задающих геометрию, выше, то элементы называются суперпараметрическими. Изопараметрические, суб- и суперпараметрические конечно-элементные представления являются, пожалуй, наиболее важными при анализе трехмерных упругих тел Соответствующие вопросы рассматриваются в гл. 10. Трехмерный анализ обычно требует чрезвычайно большой памяти ЭВМ. Если конструкция имеет криволинейную поверхность, то при регулярном конечно-элементном представлении обычно требуется большое число элементов для воспроизведения геометрических характеристик конструкции без существенного улучшения в представлениях полей напряжений или перемещений. Поэтому представление с помощью изопараметри-ческих элементов уменьшает затраты на описание геометрии.

Для описания операций, выполняемых при построении изопара-метрических элементов, достаточно рассмотреть двумерный случай. На первом шаге требуется задать систему безразмерных координат (I, т]) с началом в центре элемепга Jin операции рассмотрены в разд. 8.7 для плоского прямоугольного элемента. Заметим еще раз, что для любого прямоугольника =(а;-х)1{х-х) и 1 = (У-f/c)/(f/c-f/i). где Хо и t/o- координаты центра прямоугольника, а Xi и t/i- координаты нижней левой угловой точки. Вспомним также, что безразмерные координаты четырех угловых точек всегда равны +1 или -1 (см. рис. 8.19(a)).

На втором шаге необходимо выразить функции формы L N J = =-\ Ni . . . Ni . . . Nn \ в терминах безразмерных координат. При билинейной интерполяции, например, имеем (для узлов, определенных на рис. 8.19(a))

LN J=V4L(l-l)(l-il) (1+1)(1-Л) (1 + )(1+г1) (l-)(l+ri)J.

Определим функции формы, которые в силу сказанного записываются в виде N (I, fl) J , и зададим координаты хиу элемента в виде

*=LN(l,ri)J{x}, f/=LN(l,ri)J{y}, (8.33)



где {х} И {у} включают координаты х я у узловых точек элемента,

{х}= LX,. . .Xi. ..XnJ\ {у}= LУг. . -yi- ..УпГ. (8.34) Таким образом, x=Xi, у=У1 в точке i. Соответственно имеем

=LN(Lil)J{u}, t=LN(E, n)J{v}, (8.35)

где (u }= L Ul 2 из Ui J (v }= iviVVaVtJ.

Чтобы построить матрицу жесткости элемента, необходимо найти деформации, которые в свою очередь являются производными по X и 1/ от перемещений. Однако теперь перемещения являются функциями от координат I и ц. Следовательно, необходимо найти связь между производными по X иуи производными по и т1.Это можно осуществить, применяя правило дифференцирования сложных функций. Получим

dN; дх dNi , ду dNi

dl - dl dx dl dy dNj ddNj dy dNi dl] дт] dx Sri dy

(8.36)

Используя (8.33), определим dx/dl= \ dfi/dlj {x} и аналогичным образом дх/дх] и т. д. Поэтому (8.36) можно записать в виде

dNi \ i dNi

dNj 1 dNi

. дц) \ dy I

[J]2X2 =

(8.37)

(8.38)

Как принято в матричной алгебре, матрица первых производных, т. е. (2х2)-матрица IJ], называется матрицей Якоби.

Для иллюстративного случая билинейного элемента (см. рис. 8.19(a)) имеем

-]=1-(1-л) (1-л) (1 + л) -(H-л)J, J=L-(i-E)-(i-i)(i + i) (i + i)j.

Поэтому верхний левый эле.мент в [J] равен

п=/4[(1-л) (;2-;1)+(1+л) (xs-x,)]. Аналогично находятся выражения для У12, J 21 а У аз.




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81  82  83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!