Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82  83  84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

Левая часть соотношения (8.37) задана, а вектор в правой части следует найти. Поэтому для получения требуемой информации, необходимо обратить [J]. Может случиться, что проектировщик задает систему реальных узлов (т. е. координаты узлов xt, х, и т. д.), которая недопустима, т. е. возникает ситуация, когда матрица [J] вырождена. Операция обращения матрицы [J] чувствительна к определенным отклонениям от основной прямоугольной формы и, кроме того, к местоположению узлов на сторонах элемента [8.131. Для биквадратных элементов, например, лучше всего располагать узлы в средней точке между соседними узлами, лежащими в вершинах.

Теперь можно изучить вопросы использования изопараметриче-ских элементов при построении матрицы жесткости элемента. Соотношения между деформациями и перемещениями имеют обычный вид e=[D] {Л}, где деформации е относятся к декартовой системе координат (х, у). Поэтому [D] содержит производные функций формы по декартовым координатам. Для плоского состояния имеем, согласно (5.22),

L дх

ду 5N

(8.39)

Поэтому для определения [D] необходимо использовать преобразование (8.37).

Соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид о = [Е]е, а элементарная площадь dx dy при интегрировании заменяется на

dxdy=\i\dldn, (8.40)

где Л-детерминант матрицы [J]. Кроме того, интегрирование выполняется в пределах от -1 до -Ы. Теперь можно записать обычную формулу для матрицы жесткости элемента (6.12а), выбирая в направлении г единичную толщину:

[к] =

S[Df[E][D]dA = S S [Df [E][D]detJ Idldn

(8.41)

Очевидно, что выражение для [J] является весьма сложным даже в простейшем случае билинейного элемента. Поэтому задание явных выражений для [к] невозможно, и коэффициенты матрицы должны определяться путем численного интегрирования [8.12].

В связи с вопросами выбора функций формы для изопараметрического представления интересно отметить, что, если моды движе-



Литература

8 1 Johnson М., McLay R. Convergence of the Finite ElementMethod in the Theory of Elasticity.-J Appl Mech , 90, June 1968, n 274-289 [Имеется перевод. Прикл механ - М Мир, 1968, № 6 J

8.2. long Р , Plan Т The Convergence of Finite Element Method in Solving Linear Elastic ProbleiiK - [nt J Solids and Structures 1967, 3, p 865-879.

8.3. Hdisler W , Striklin J Rigid Body Displacements of Curved Elements in the Analysis of Shells by the Matrix-Displacement Method.-AIAA J , Aug. 1967, 5, No 8, p 1525-1527 [Имеется перевод- Ракетная техн и космон - М.: Мир, 1967, Xs8.]

8.4. Murray К. Н Comments on the Convergence of Finite Element Solutions - AIAA J , 1970, 8, No. 4, p 815-816 [Имеется перевод- Ракетная техн и космон - М.- Мир, 1970, № 4.]

8.5. Dunne Р. Complete Polynomial Displacement Fields lor Fmite Element Method-Aero. J., Mar 1968, 72, p. 246-247

НИЯ тела как твердого целого и условия постоянства деформаций включались в исходную (для прямоугольника) функцию поведения, то они сохранятся и после преобразования. В случае плоской задачи перемещение, соответствующее движению тела как твердого целого, и условия постоянства деформаций можно записать в общем виде-А=а1+а2Х+азу. Для прямоугольника имеем

А= L N (Н, л) J {А }=аН-аг+а /. (8.42)

В каждом узле требуется, чтобы А,==а1+а2л;,+аз1/;, и после подстановки в (8.42) для п степеней свободы получим

п п п

1=1 1=1 (=1

2Л,= 1. i/V,x, = x. Nyy. 1=1 1=1 1=1

Первое из приведенных условий выполняется в силу основных свойств функций формы, а второе и третье условия - вследствие (8.33).

Идеи изопараметрического представления переносятся естественно и на трехмерный случай. Здесь не приводится детального изложения этих вопросов, так как обобщение матриц [J] и [D] на трехмерный случай является очевидным Так же непосредственно проводится обобщение на представление в треугольных и тетраэдральных координатах, причем в этом случае необходимо предварительно выразить одну из координат Li в терминах остальных координат. Для треугольных координат необходимо сначала использовать (8.20), а для тетраэдральных координат - соотношения (8.28).



Задачи

8.1. Изучите вопрос применимости поля перемещений из (9.16) с точки зрения критерия, введенного в разд. 8.1.

8.2. Используя критерий из разд. 8.1, обсудите вопрос применимости функции, выписанной ниже, для представления полей перемещений для изображенного на


Рис. Р8.2.

рис. Р8.2 конечного элемента в виде параллелограмма, находящегося в плоском напряженном состоянии.

/ Хл \

и = а1Х+а2У+аз ху--+ 4.

\ 4 /

8.3. Выпишите функцию перемещений и для изображенного на рис. 8.7(b) прямоугольного элемента на основе двумерной лагранжевой интерполяции, исключив точку 5 посредством задания линейного распределения перемещений между точками 4 и 6, а также 2 и 8.

8.4. Перепишите приведенную в разд. 2.8 процедуру исключения дополнительных степеней свободы так, чтобы имелась возможность учета нагрузок, соответствующих исключенным степеням свободы.

8.5. Выпишите в треугольных координатах коэффициенты функции формы Л300, Л210 и Лп! для кубического поля перемещений.

8.6. Получите в треугольных координатах коэффициенты функции формы Л и Nan для квадратичного поля перемещений.

8.7. Определив, согласно разд. 8 5, функции формы Nm и т.д., докажите корректность выписанных в задаче 6.9 выражений.

8.8. Постройте функции формы для изображенного на рис. 8.5 тетраэдра в терминах узловых координат в случае JCi=iyi=l/a=2;j=Zj=Zj=0,

8.6. Eisenberg .М А , Malvern L F On Finite Element Integrition m Natural Coordinates.-Int. I Num. Meth Eng , 1973, 7, p 574-575.

8.7. Abramowitz h\ , Stegun I A Handbook of Mathematical Functions.-Washington, D C. Natl Bureau of Standards, 1964 [Имеется перевод Абрамовна М , Стиган И. Справочник по специальным функциям.- \. Мир, 1979 ]

8.8. Strang G , Fix G. An Analysis of the Finite Element Method -Englewood Cliffs, N J Prentice-Hall, Inc., 1973

8.9 Sihester P Tetrahedronal Polinomial Finite Elements for the Helmholtz Equation.-Int J Num Meth Eng, 1972, 4, No. 4, p. 405-413 8.10 Taylor R. L. On the Completeness of Shape Functions for Finite Element Analysis.-J Num. Meth. Eng , 1972, 4, No 1, p. 17-22

8.11. Zienkiewicz 0 C. Isoparametric and Allied Numerically Integrated Elements- A Review -In- Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics, S J Fenves, et al. (eds.).-New York, N.Y : Academic Press, 1973, p 13-42.

8.12. Irons B. M Quadrature Rules for Brick Based Finite Elements -Int J Num Meth Eng., 1971, 3, No 2, p. 293-294.

8.13. Bond T J., et al A Comparison of Some Curved Two-Dimensional Finite Elements.-J Strain Analysis, 1973, 8, No 3, p. 182-190.




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82  83  84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!