Левая часть соотношения (8.37) задана, а вектор в правой части следует найти. Поэтому для получения требуемой информации, необходимо обратить [J]. Может случиться, что проектировщик задает систему реальных узлов (т. е. координаты узлов xt, х, и т. д.), которая недопустима, т. е. возникает ситуация, когда матрица [J] вырождена. Операция обращения матрицы [J] чувствительна к определенным отклонениям от основной прямоугольной формы и, кроме того, к местоположению узлов на сторонах элемента [8.131. Для биквадратных элементов, например, лучше всего располагать узлы в средней точке между соседними узлами, лежащими в вершинах.

Теперь можно изучить вопросы использования изопараметриче-ских элементов при построении матрицы жесткости элемента. Соотношения между деформациями и перемещениями имеют обычный вид e=[D] {Л}, где деформации е относятся к декартовой системе координат (х, у). Поэтому [D] содержит производные функций формы по декартовым координатам. Для плоского состояния имеем, согласно (5.22),

ду 5N

(8.39)

Поэтому для определения [D] необходимо использовать преобразование (8.37).

Соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид о = [Е]е, а элементарная площадь dx dy при интегрировании заменяется на

dxdy=\i\dldn, (8.40)

где Л-детерминант матрицы [J]. Кроме того, интегрирование выполняется в пределах от -1 до -Ы. Теперь можно записать обычную формулу для матрицы жесткости элемента (6.12а), выбирая в направлении г единичную толщину:

[к] =

S[Df[E][D]dA = S S [Df [E][D]detJ Idldn

(8.41)

Очевидно, что выражение для [J] является весьма сложным даже в простейшем случае билинейного элемента. Поэтому задание явных выражений для [к] невозможно, и коэффициенты матрицы должны определяться путем численного интегрирования [8.12].

В связи с вопросами выбора функций формы для изопараметрического представления интересно отметить, что, если моды движе-

Литература

8 1 Johnson М., McLay R. Convergence of the Finite ElementMethod in the Theory of Elasticity.-J Appl Mech , 90, June 1968, n 274-289 [Имеется перевод. Прикл механ - М Мир, 1968, № 6 J

8.2. long Р , Plan Т The Convergence of Finite Element Method in Solving Linear Elastic ProbleiiK - [nt J Solids and Structures 1967, 3, p 865-879.

8.3. Hdisler W , Striklin J Rigid Body Displacements of Curved Elements in the Analysis of Shells by the Matrix-Displacement Method.-AIAA J , Aug. 1967, 5, No 8, p 1525-1527 [Имеется перевод- Ракетная техн и космон - М.: Мир, 1967, Xs8.]

8.4. Murray К. Н Comments on the Convergence of Finite Element Solutions - AIAA J , 1970, 8, No. 4, p 815-816 [Имеется перевод- Ракетная техн и космон - М.- Мир, 1970, № 4.]

8.5. Dunne Р. Complete Polynomial Displacement Fields lor Fmite Element Method-Aero. J., Mar 1968, 72, p. 246-247

НИЯ тела как твердого целого и условия постоянства деформаций включались в исходную (для прямоугольника) функцию поведения, то они сохранятся и после преобразования. В случае плоской задачи перемещение, соответствующее движению тела как твердого целого, и условия постоянства деформаций можно записать в общем виде-А=а1+а2Х+азу. Для прямоугольника имеем

А= L N (Н, л) J {А }=аН-аг+а /. (8.42)

В каждом узле требуется, чтобы А,==а1+а2л;,+аз1/;, и после подстановки в (8.42) для п степеней свободы получим

п п п

1=1 1=1 (=1

2Л,= 1. i/V,x, = x. Nyy. 1=1 1=1 1=1

Первое из приведенных условий выполняется в силу основных свойств функций формы, а второе и третье условия - вследствие (8.33).

Идеи изопараметрического представления переносятся естественно и на трехмерный случай. Здесь не приводится детального изложения этих вопросов, так как обобщение матриц [J] и [D] на трехмерный случай является очевидным Так же непосредственно проводится обобщение на представление в треугольных и тетраэдральных координатах, причем в этом случае необходимо предварительно выразить одну из координат Li в терминах остальных координат. Для треугольных координат необходимо сначала использовать (8.20), а для тетраэдральных координат - соотношения (8.28).

Задачи

8.1. Изучите вопрос применимости поля перемещений из (9.16) с точки зрения критерия, введенного в разд. 8.1.

8.2. Используя критерий из разд. 8.1, обсудите вопрос применимости функции, выписанной ниже, для представления полей перемещений для изображенного на

Рис. Р8.2.

рис. Р8.2 конечного элемента в виде параллелограмма, находящегося в плоском напряженном состоянии.

/ Хл \

и = а1Х+а2У+аз ху--+ 4.

\ 4 /

8.3. Выпишите функцию перемещений и для изображенного на рис. 8.7(b) прямоугольного элемента на основе двумерной лагранжевой интерполяции, исключив точку 5 посредством задания линейного распределения перемещений между точками 4 и 6, а также 2 и 8.

8.4. Перепишите приведенную в разд. 2.8 процедуру исключения дополнительных степеней свободы так, чтобы имелась возможность учета нагрузок, соответствующих исключенным степеням свободы.

8.5. Выпишите в треугольных координатах коэффициенты функции формы Л300, Л210 и Лп! для кубического поля перемещений.

8.6. Получите в треугольных координатах коэффициенты функции формы Л и Nan для квадратичного поля перемещений.

8.7. Определив, согласно разд. 8 5, функции формы Nm и т.д., докажите корректность выписанных в задаче 6.9 выражений.

8.8. Постройте функции формы для изображенного на рис. 8.5 тетраэдра в терминах узловых координат в случае JCi=iyi=l/a=2;j=Zj=Zj=0,

8.6. Eisenberg .М А , Malvern L F On Finite Element Integrition m Natural Coordinates.-Int. I Num. Meth Eng , 1973, 7, p 574-575.

8.7. Abramowitz h\ , Stegun I A Handbook of Mathematical Functions.-Washington, D C. Natl Bureau of Standards, 1964 [Имеется перевод Абрамовна М , Стиган И. Справочник по специальным функциям.- \. Мир, 1979 ]

8.8. Strang G , Fix G. An Analysis of the Finite Element Method -Englewood Cliffs, N J Prentice-Hall, Inc., 1973

8.9 Sihester P Tetrahedronal Polinomial Finite Elements for the Helmholtz Equation.-Int J Num Meth Eng, 1972, 4, No. 4, p. 405-413 8.10 Taylor R. L. On the Completeness of Shape Functions for Finite Element Analysis.-J Num. Meth. Eng , 1972, 4, No 1, p. 17-22

8.11. Zienkiewicz 0 C. Isoparametric and Allied Numerically Integrated Elements- A Review -In- Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics, S J Fenves, et al. (eds.).-New York, N.Y : Academic Press, 1973, p 13-42.

8.12. Irons B. M Quadrature Rules for Brick Based Finite Elements -Int J Num Meth Eng., 1971, 3, No 2, p. 293-294.

8.13. Bond T J., et al A Comparison of Some Curved Two-Dimensional Finite Elements.-J Strain Analysis, 1973, 8, No 3, p. 182-190.