8.9. Вычислите интеграл фМ2au/dx)(pNf,i-/dtj)dA для треугольного элемента

с вершиной 200 в начале координат и вершинами НО и 020, расположенными на оси X.

8.10. Определите функции формы для четырехузлового стержневого конструктивного элемента (см. рис. 8.2), используя лагранжеву интерполяцию.

8.11. Постройте функцию формы для прямоугольной изгибаемой пластины, используя эрмитову интерполяцию так же, как это делается при формулировке лагранжевых элементов. Удовлетворяет ли построенная функция всем критериям из разд. 8.1?

8.12. Постройте с помощью эрмитовой интерполяции одномерную функцию формы, соответствующую полиному пятой степени. В качестве степени свободы на каждом конце сегмента примите саму функцию, ее первую и вторую производные.

8.13. Биквадратная интерполяционная формула (8 17) выписана в системе координат с началом в нижнем левом углу элемента. Выпишите ее в координатах , г\ с началом в центре элемента.

8.14. Постройте подходящее поле перемещений и для изображенного на рис. Р8.14 элемента.

2 Рис. Р8.14.

8.15. Предположим, что, как и в случае теплопроводности (см. разд. 5,4), поведение треугольного элемента описывается скаляром Г, задаваемым в виде

rLJi+L.T+LaTa+LiLLaro L N J {Г },

где Z-i, Ln Lg - треугольные координаты; Г, и Гд - значение температуры в вершинах элемента, Го - обобщенный параметр. Матрица поведения задается формулой

[к] =

dN [ду

где V - коэффициент теплопроводности. Постройте матрицу поведения для этого случая и исключите дутые моды L, L, с помощью процедуры конденсации.

1 ПЛОСКО-НАПРЯЖЕННОЕ

I СОСТОЯНИЕ

Теперь в нашем распоряжении имеются все компоненты, необходимые для построения разнообразных видов конечных элементов и функций, задающих их поведение. С данной главы начинается описание конкретных типов элементов для анализа сплошной среды. Этому в книге посвящены четыре главы, в которых соответственно рассматриваются плоско-напряженные элементы, трехмерные элементы, специальные виды трехмерных элементов и изгибаемые пластинчатые элементы. Три главы, включая данную, открываются кратким изложением основных соотношений, отвечающих рассматриваемому типу поведения, т. е. определяющих дифференциальных уравнений и специальных форм соответствующих дифференциальных уравнений. Содержание последующих разделов этих глав и двух оставшихся глав, относящихся к указанной группе, определяется типом рассматриваемого элемента.

Данная глава посвящена вопросам конечно-элементного представления тонких пластин, находящихся в условиях плоского напряженного состояния, т. е. при действии в их плоскости нормальных и касательных напряжений. Плоское напряженное состояние является простейшей формой напряженного состояния конструкций, часто встречающейся на практике. Указанные элементы используются для представления конструктивных элементов тонкостенных и подкрепленных конструкций, кесонных конструкций, а также для учета мембранных напряжений в оболочках.

Основные соотношения плоского напряженного состояния служат инструментом для проведения различных фундаментальных теоретических построений в последующих главах. Первый раздел этой главы краток и содержит в основном лишь указания на те места книги, где определяющие соотношения вводятся впервые. Для плоско-напряженных элементов наиболее существенным отличительным фактором является их конфигурация. Хотя возможны различные конфигурации элементов, здесь рассматриваются тре-

9.1. Основные соотношения

9.1.1. Дифференциальные уравнения и уравнения состояния

Рассмотрим тонкую пластинку, находящуюся в плоском напряженном состоянии (рис. 9.1). Координатные оси х п у расположены в срединной плоскости пластины, в которой действуют постоянные по толщине пластины t напряжения а, Оу и т.. Предполагается, что нормальным напряжением и касательными напряжениями

и Туг можно Пренебречь. Дифференциальные уравнения равновесия имеют вид уравнений (4.2). Соотношения между деформациями и перемещениями представлены фopмyлaш (4.7). Уравнение (4.8) представляет собой дифференциальное уравнение совместности.

Нечасто требуется иметь в распоряжении уравнения состояния для плоского папряженного состояния в случае более общем, чем для ортотропного материала. Поэтому с учетом начальных дефор-

угольные и четырехугольные элементы, причем каждый из указанных элементов детально изучается в отдельном разделе главы.

Формулировки треугольных элементов плоского напряженного состояния в принципе основаны на задании предполагаемых полей перемещений и интеграла потенциальной энергии. В данной главе предложено несколько альтернативных формулировок различной степени сложности для треугольных элементов. Здесь обсуждаются также аспекты практического построения треугольных элементов и, в частности, вопросы интерпретации результатов расчета полей напряжений. Представлены численные решения в зависимости от измельчения сетки разбиения для двух задач, для которых имеются аналитические решения. Приводятся за.мечания относительно роли смешанных вариационных принципов и принципа минимума дополнительной энергии при построении треугольных конечных элементов.

При рассмотрении прямоугольных плоско-напряженных элементов вначале изучаются формулировки, полученные с помощью межэлементно согласованных полей перемещений. Для этих элементов приводятся результаты расчетов, откуда становится ясно, что задачи, которые должны описывать состояние изгиба, лучше моделируются с помощью элементов, содержащих дополнительные функции перемещений. Изучению указанных функций отводится специальный раздел. При формулировке элементов гибридный метод напряжений имеет определенные преимущества в отдельных задачах плоско-напряженного анализа. Этот подход к построению элементов описывается в заключительном разделе главы.