маций еу , где

е и vii запишем

о=[Е1е-[Ее

iiiit

ЛГ 1X1,

О о

(4.15)

(9.1) (9.2)

(9.3)

с VixyEylyxEx- Здесь G - модуль сдвига.

Следует отметить, что уравнения состояния для ортотропного материала часто задаются в глобальной системе координат {х, у), а элемент необходимо построить в осях координат (л:, у), связанных

Рис. 9.1. Плоско-напряженное состояние.

С элементом. Если, как показано на рис. 9.1, ф - угол между глобальной и связанной системами координат, то преобразование компонент напряжений в глобальной системе к компонентам в связанной системе имеет вид

созф sin9 2 sin Ф cos ф

ЗШф СОЗф -2$1ПфС08ф

- sin ф cos Ф sin ф cos ф СОЗф - ЗШф а для компонент деформаций имеем

созФ з1пф sin ф cos ф

51пф СОЗф -sin ф cos ф

\Хху

(9.4а)

(9.4Ь)

Соответствующий вид граничных условий уже был выписан ранее: граничные условия для напряжений представлены в (4.5), а для перемещений - в (4.9). Определяющие дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях задаются соотношениями (4.17). Определяющее дифференциальное уравнение совместности представлено в (4.18) в терминах напряжений, а в тер.минах функции напряжений Эри - в (4.19).

9.1.2. Потенцкальиая энергия

Для потенциальной энергии рассмотрим ниже лишь слагаемое, отвечающее энергии деформации U. Потенциал действующих сил V зависит от вида этих сил, причем о нем можно сказать что-либо определенное, если задано распределение указанных нагрузок. Энергия деформации для плоского напряженного состояния равна

{/ = 1 jae/d,

(9.5)

где а и е определяются согласно (9.1) и (9.2). Вводя в (9.5) уравнение состояния ортотропного материала (без учета начальных деформаций) и принимая во внимание соотношение между деформациями и перемещениями (4.7), получим

(9.5а)

где [Е] определяется согласно (9.3) и

ди дх dv

ду ди dv дуШ.

После преобразования имеем

+ (l-f.A,)Of£+Vl(<lA. (9.5Ь)

\ду дх

Принцип минимума потенциальной энергии предполагает рассмотрение допустимых полей перемещений. В данном случае поле перемещений определяется, вообще говоря, в каждом узле компонентами и у, поэтому вектор смещений в узлах обозначим через LAJ = L L J LvJ J. Кроме того, в обсуждаемом ниже методе

жесткости ПОЛЯ перемещений и и v выписываются непосредственно в терминах узловых перемещений в виде функции формы, т. е. =LNJ{u), u=LNJ{v) (вообще говоря, и выбирается лишь как функция от {и} и аналогично для и). Для плоского случая в разд. 5.2 в соотношении (5.22) и разд. 8.8 в соотношении (8.39) уже использовалось преобразование степеней свободы в деформации. Поэтому в принятых обозначениях имеем

.ду\

dN [ду dN dx

(9.6)

Следовательно, уравнение (9.5a) преобразуется к виду

LLuJLvJJ r,Ji }

2 1- Uiv})

[к]= ][DY[E][D]tdA

(9.5с) (9.7)

9.1.3. Дополнительная энергия

Согласно (6.68а), дополнительная энергия деформации равна

(9.8)

Применим подход, основанный на введении функций напряжений Ф, и заметим, что функция напряжений Эри Ф из (4.4) пригодна в рассматриваемом случае. Допустимое поле, задаваемое функцией напряжений Эри внутри элемента, можно записать в виде функции формы следующим образом:

Ф=LNJ{Ф}, (6.77)

где {Ф} состоит из значений функции напряжений в узлах, а N J содержит выбранные функции формы. Тогда, дважды дифференцируя Ф и учитывая определение функции напряжений (4.4), получим

a==[N ]{0}. (6.78)

где коэффициенты матрицы [N 1, вообще говоря, являются функциями от X и у. Подстановка в выражение для дополнительной энергии .чеформации i риводит к соотношению

i/* = (LOJ/2) [f] (Ф). (9.8а)