Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85  86  87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

где так же, как и в (6.72а),

j[N ]T[E]-[N ]/rfЛ

(9.9)

Здесь не приводятся основные соотношения для формулировки смешанных вариационных принципов в случае плоского напряженного состояния; в этой главе лишь кратко излагается роль этих принципов при формулировке элементов. В работе [9.11 .можно найти подробное изложение вопросов, связанных с функционалом Рейсснера, в случае плоского напряженного состояния.

9.2. Треугольные плоско-напряженные элементы

9.2.1. Элементы, построенные на базе предполагаемых перемещений

В этом разделе рассматриваются плоско-напряженные треугольные элементы, построенные в предположении, что поля перемещений представлены соответственно полными линейными, квадратичными


д.х ду


Рис. У.2. Возможные виды треугольных элементов; (а) треугольный с постоянным значением деформации (CST-элемент); (Ь) треугольный с линейной деформацией (LST-элемент); (с) образованный из четырех треугольников с узлами на серединах сторон; (d) десятиузловой треугольный с квадратичной деформацией (QST-элемент); (е) треугольный с квадратичной деформацией, включающий производные в качестве степеней свободы.



[дх ,

dNaoo 5/Vo5o dNoo2 dNuo dNpU dNipi dx dx dx dx dx dx

(9.11)

и аналогично для других векторов из (9.6). Первый член в (9.11) равен, как показано в разд. 8.5,

= (41,-1). (9.12)

Все остальные члены получаются также легко в результате дифференцирования.

И кубическими полиномами. В разд. 8.5 показано, что теоретически для треугольных элементов нет ограничений на степень полиномиального представления, так как легко расположить узловые точки внутри и на границе элемента, чтобы учесть функцию любого порядка. Однако на практике ценность элементов, основанных на полиномах, степень которых превышает третью, является дискуссионной. В этом случае, с одной стороны, существенно труднее выписать коэффициенты для элемента, а с другой - необходимость измельчения конечно-элементной сетки, моделирующей конфигурацию реальной конструкции, делает недействительными преимущества более усложненных представлений поведения элемента.

На рис. 9.2 изображены элементы, обсуледаемые в этом разделе. Основной элемент (см. рис. 9.2(a)) со степенями свободы в вершинах треугольника построен в предположении постоянства деформаций, что равнозначно постоянству напряжений или линейности перемещений. Этот элемент часто называется CST-элементом. Матрица жесткости этого элемента для изотропного материала получена с помощью альтернативных процедур в разд. 5.2 и 6.4 и представлена на рис. 5.4. Так как этот вывод в разд. 5.2 проведен детально, здесь не требуется дополнительных пояснений.

По мере усложнения следующим элементом является изображенный на рис. 9.2(b) шестиузловой треугольный элемент, построение которого основано на задании полных квадратичных полиномов для перемещений и и v. Так же как в разд. 8.5, имеем

=A200 200 + A020 OSO+A/ a o02+A/iio 110 + A/ou oil + A/loi 10i (8.25b)

и аналогичное выражение для v. В терминах треугольных координат из (8.Па) и (8.12а) получим

A2 o = ii(2Li-l), / 20 = 2 (22-1). N 2=L,(2L3-l), (9Л0) Лио = 4112, A n = 4L2L3, NiiiLLi.

В этом случае после применения соотношений между деформациями и перемещениями (4.7) приходим к (9.6), где {и}=1 2оо. . ю! J,



Матрица жесткости формулируется с использованием (9.7). На практике интегрирование тройного произведения [DjfE] [D] по области, занимаемой элементом, выполняется численно в виду сложности явных выражений для коэффициентов жесткости элемента. Однако получение явных выражений возможно, если построение ведется в терминах коэффициентов жесткости для CST-элементов [9.2]. Явные выражения для коэффициентов матрицы жесткости элементов более высокого порядка оказываются громоздкими.

Квадратичное поле перемещений приводит к линейным распределениям деформаций (или напряжений) в треугольном элементе, такой элемент обычно называется LST-элементом. Может показаться, что объединение четырех CST-элементов, как показано на рис. 9.2(c), приведет к тому же результату, что и один LST-элемент. Однако LST-9jieMeHT определяет непрерывное (линейное) напряженное состояние внутри элемента, а совокупность CST-элементов дает четыре различных постоянных значения каждой компоненты напряжения.

Внутри LST-элемента дифференциальные уравнения не удовлетворяются. Этот факт был продемонстрирован ранее в разд. 4.5 с помощью полиномиального представления полей перемещений U, и и, а не с помощью рассмотрения функции формы. Очевидно, условия равновесия в узлах, находящихся внутри всех элементов более высокого порядка, также нарушаются.

Как показано на рис. 9.2(b) штриховыми линиями, LST-элемент подходит для представления в изопараметрической форме. Операции, реализующие это представление, были описаны в разд. 8.8. Вообще говоря, все обсуждаемые здесь и в последующих главах конкретные элементы подходят для представления в изопараметрической форме. Так как детали построения во всех случаях соответствуют изложенным в разд. 8.5, то далее, за исключением частных случаев, не будут обсуждаться вопросы, связанные с изопараметрической формой представления.

Для дальнейшего улучшения представления может использоваться треугольный элемент, базирующийся на полных кубических (десятичленных) полиномах перемещений для компонент и я v. В этом случае встречаются два альтернативных способа расположения степеней свободы. В первом - изображенном на рис. S.2(d)- задается обычным образом набор из 10 узловых точек, и в качестве степеней свободы выбираются значения и я v в каждом узле. Во втором - изображенном на рис. 9.2(e) - узлы задаются лишь в вершинах, где наряду с и и у задаются также и производные от этих величин {du/dx=Ux и т. д.). Это приводит к появлению 9 степеней свободы соответственно для каждой компоненты и я v, т. е. всего к 18 степеням свободы. В полном разложении обеих величин и я V имеется 20 степеней свободы. Дополнительные две степени сво-




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85  86  87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!