НЫХ уравнений (4.17) проводились для различных типов треугольных элементов. Изучавшиеся схемы изображены на рис. 9.6. Оказалось, что наибольшую скорость сходимости обеспечивает схема А. Однако для этой схемы расположения элементов возникает проблема обеспечения геометрической изотропии. Сетка равносторонних треугольников (схема D) обеспечивает такую же скорость сходимости, как и схема А. Более слабая сходимость выявлена для схем В и С. При использовании этих схем возникали ошибки, зависящие от рассматрпваелгаго направления, которые можно скомпенсировать, комбинируя различные схемы, что обычно и делается при анализе.

Сетка А

Сетка В

Сетка С

Сетка В

Рис. 9.6. Рассматриваемые в [9.7] сетки.

Другой практический вопрос, связанный с геометрией расположения элементов, основанных на допустимых полях перемещений, возникает при рассмотрении напряженного состояния на свободных краях. Как ясно из рис. 5.3, напряжения в элементе с постоянным напряжением внутри него выходят за грани элемента. Поэтому свободное от напряжений состояние на границе конструкции является полностью приближенным, и шаг разбиения сетки в направлении нормали к такой границе должен быть достаточно мал, чтобы обеспечить малость напряжений на границе и переход к большим значениям интенсивности указанных напряжений внутри конструкции.

Продолжая обсуждение вопросов применения рассмотренных выше схем для решения прикладных задач, необходимо заметить, что следует стремиться избегать вытянутых элементов. При удли-

нении жесткость треугольного элемента с постоянным значением деформации не стремится к жесткости стержневого элемента, и можно показать [9.8], что точность решения падает с увеличением удлинения элемента (отношения максимальных линейных размеров в двух направлениях). Следует стремиться использовать равносторонние элементы.

В гл. 6 и 7 показано, что решение, доставляющее минимум потенциальной энергии, построенное на базе конечного числа степеней свободы, дает нижнюю границу точного значения энергии деформации. Поэтому для заданного числа степеней свободы требует-

Шесть

Оси

симметрии

Рис. 9.7. Конечно-элементное представление четвертой части диска, нагружен-ноге вдоль радиуса. Используются одновременно элементы высокого и низкого порядков с переходными элементами между ними (из [9.10]). Перепечатывается с разрешения Council of the Institution of Mechanical Engineers из журнала Journal of Strain Analysis. Замечание. Сетка состоит из 21 CST-элемента, 14 LST-эле-ментов и 5 переходных элементов (заштрихованы).

ся так разместить узлы, чтобы достичь максимального значения энергии деформации. Теоретически возможно разместить узлы указанным образом в связи с общей процедурой анализа, при этом координаты X \\ у узловых точек рассматриваются как степени свободы и участвуют в определении экстремума функционала [9.9]. Этот процесс должен, разумеется, осуществляться итерационным образом и оказывается чрезмерно дорогостоящим при решении реальных задач.

Исходя ИЗ практических условий, инженер должен оценить области с большим градиентом деформации и в этих областях, если используются обычные элементы, применять очень мелкие сетки, отвечающие простым элементам, либо применять элементы более высокого порядка. Если используется последний подход, необходимо построить переходные элементы от элементов высокого порядка в областях с резкими перепадами деформаций к более простым элементам в областях, где распределение деформаций по существу однородно или не столь важно для решения задачи. Чтобы выполнить это, полезно использовать эле.менты высокого порядка с меньшим числом узловых точек на краях, соприкасающихся с более простым элементом [9.101. Эта ситуация иллюстрируется на рис. 9.7 для классической задачи расчета кругового диска, на который действуют две диаметрально противоположные сосредоточенные силы. В разд. 8.7 показано, как построить поля перемещений в элементах с разным числом узлов на соответствующих сторонах. В точке приложения сосредоточенной силы или в вершине трещины, где напряжение в материале теоретически бесконечно (сингулярность напряжений), а также в непосредственной близости от этих точек желательно учесть сингулярность при построении элементов. В конце п. 9.3.3 мы снова вернемся к указанным построениям.

9.2.3. Интерпретация полей напряжений

Так как построения конечных элементов на базе перемещений проводятся при помощи принципа минимума потенциальной энергии, причем уравнения равновесия удовлетворяются лишь в среднем по элементу и в общем поточечные условия не выполняются ни внутри элемента, ни вдоль линий раздела элементов, следует пред положить, что возникнут трудности при интерпретации вычисленных напряжений.

Прежде чем перечислить эти трудности, важно выяснить детали расчета напряжений в том случае, когда имеются начальные деформации, распределенные нагрузки и силы инерции. Напомним, что, согласно соотношению (5.7а) из разд. 5.1, поле напряжений в элементе а можно вычислить, зная вектор перемещений в элементе {А} с помощью соотношений о=[Е] [D] {A}=[S] (Л). Если имеется начальная деформация е , то закон, связывающий деформации и напряжения, имеет вид о=[Е1е-[Eje*и, так как fi=[D] {Л}, в этом случае получим

о-[Е1 [D1 {A}-lEl8 =[Sl{A} [Elfi . (5.7b)

Введение членов, учитывающих распределение нагрузки, выполняется не так просто. В ра.чд. 6.1 было показано, что если имеется распределенная нагрузка Т, то понятие энергетически эквивалентной или соответствующей нагрузки приводит к следую-