вая матрица представляет собой квадратную матрицу

J[N]T[N]ui(vol)

столбцы которой соответствуют элементам в {о}. Эту матрицу легко определить, рассматривая виртуальную работу сил, соответствующих сопряженным напряжениям о , на виртуальных перемещениях. Вторая матрица - это вектор-строка, задаваемая выражением

a[N]d(vol)

где а - несогласованное поле напряжений, записанное здесь в виде строки. Эту матрицу также можно получить, рассматривая виртуальную работу сил, отвечающих несогласованному полю напряжений о и совместимых перемещений.

Полученные выражения для матриц элемента объединяют в соотношение, представляющее всю конструкцию, путем суммирования, идентичного с используемым в прямом методе жесткости. Сохраняя для глобального представления то же самое обозначение, что и для элементного, можно выписать вектор сопряженных напряжений в виде

LaJ =

JoLNJd(vol) J LN LN J d(vol)

vol . Lvol

Можно считать, что выписанное выражение получается в результате приравнивания альтернативных выражений для виртуальной работы.

Чтобы проиллюстрировать данную идею, рассмотрим задачу, изображенную на рис. 9.8. В этом случае для каждого элемента d(\-o\)=Adx и

Поэтому для каждого элемента

f LN JT LN Jd(vol)l il

Заметим, что эта матрица, за исключением постоянного множителя, совпадает с совместимой матрицей массы элемента. Объединим

ЭТИ матрицы и получим представление для всей конструкции

Ol а 08

2 1 о 1 4 1 О 1 2

Кроме того, для каждого элемента, где постоянно напряжение о=а, имеем

aLNjd(voi) = Li iJ;

и опять, объединяя для всей конструкции с учетом, что laiqLIA) в элементе 1-2 и aliqllA) в элементе 2-3, получаем <7(LV4) 3 4 1 J . Поэтому, согласно подходу, основанному на введении сопряженных напряжений, имеем

2 1 0~

Laa.oJ =.q-=- L341 J

1 4 1 О 1 2

Это распределение совпадает с точным распределением напряжений на участке 1-2 и отличается от точного решения на участке 2-3 в силу того, что Оз оказалось равным qLlAA, а не нулю.

Можно показать [9.12], что вычисленные указанным выше способом напряжения минимизируют среднеквадратичное отклонение несовместных напряжений а от поля сопряженных напряжений а . Иными словами, если {а} подсчитывается, как предложено выше, то следующий интеграл достигает своего минимального значения:

{[N]{a[-oprf(vol).

Из вышеизложенного вытекает несколько обобщений подхода, основанного на понятии сопряженных напряжений, два из которых приводятся ниже:

1. Можно использовать согласованные, но несовместные с перемещениями представления напряжений. Это, конечно, приведет к потере преимущества иметь в распоряжении N J на основе уже рассчитанного поля перемещений. Действительно, можно рассматривать описанный выше подход как изосопряженное представление напряжений .

2. Для построения вектор-строки можно использовать отличное от а напряжение. Если можно определить некоторое поле напряжений, которое лучше удовлетворяет локальным условиям равновесия, то, используя его, можно предположительно получить более подходящие сопряженные напряжения.

Требования, возникающие при проектировании, часто таковы, что изложенный выше подход, в котором необходимо строить и обращать матрицу большой размерности, экономически невыгоден, и на практике больше опираются на непосредственную интерпретацию величин напряжений, полученных с помощью матриц напряжений для элемента. Формула a=[S] {Л}, где [S] - вообще говоря, функция пространственных координат, задает поле напряжений в терминах указанных координат. Однако для расчетов необходимо иметь формулу вида {a}=[S] {А}, где {а} опять определяет напряжения в заданных точках. Главной задачей для исследователя является такое задание этих точек, которое удовлетворяло бы целям проектирования.

Проблема встает особенно остро, если используются треугольные элементы с постоянным напряжением. По-вндимо.му, для задания напряженного состояния лучше всего выбирать точки в центре каждого элемента. Однако не имея большого количества элементов, трудно интерпретировать полученный результат. Можно также задавать средние значения напряжений в узлах, принадлежащих нескольким элементам. В любом случае дискретный вид получаемых результатов подразумевает разумный характер поведения кривых, задающих компоненты напряжения на контуре.

На рис. 9.9 представлены некоторые способы [9.131 интерпретации рассчитываемых полей напряжений в задачах с треугольными элементами, составляющими прямоугольную сетку. Схема, изображенная на рис. 9.9(a), позволяет полностью исключить необходимость использования данных для элемента и приводит к конечно-разностной аппроксимации деформаций при помощи узловых смещений. Так, в точке 3

e, = -V, е = - и т. д.,

откуда с учетом уравнений состояния легко подсчитать напряжения.

Для другой простой альтернативной схемы представим, что конечно-элементная модель разделена вдоль сеточной линии, как показано на рис. 9.9 (Ь). Силы взаимодействия F. и Fy., действующие в узлах вдоль этой линии, вычисляются в результате умножения соответствующих узловых перемещений на отвечающие им матрицы жесткости элементов с последующим суммированием так подсчитываемых сил в каждом узле. Эти силы распределяют, как показано на рис. 9.9(c) (штриховая линия), в виде ступенчатой диаграммы напряжений, которые затем представляются в полигональной форме (сплошная линия). При построении распределений касательных напряжений используется свойство близости. Так, в точке 2, например, Oy=FJat, %xy,=PxJat.

Уточнение этой методики осуществляется следующим образом. Для каждой точки записывается уравнение статики, связывающее