Fy с соседними напряжениями о, см. рис. 9.9(d). Например,

i,.=v8(4 Оух+Оух+Оух) at.

Имеется столько уравнений, сколько неизвестных напряжений. Решение этих уравнений однозначно определяет распределение

ГГГГ\

1 Уг 4 5

L j

Рис. 9.9. Подходы к определению напряжений для прямоугольных сеток.

напряжений. Эти операции можно рассматривать как элементарную форму подхода, основанного на введении сопряженных напряжений.

9.1.4. Сравнение результатов численного анализа для треугольных элементов

Две задачи, которые долго служили основой сравнения альтернативных формулировок плоско-напряженных элементов, иллюстрируют существенно различные свойства треугольных элементов. Существование этих задач как основы сравнения вытекает из того факта, что они принадлежат тому небольшому количеству плосконапряженных задач теории упругости, которые тщательно исследовались с помощью традиционных методов решения.

у. V

0.0014 -

0.0013-

0.0012

0.0011

0.0010

Точное решение

Греугоу/ьта элепент с линейной deipopnouueu

Греугольнь/й элемент д с постоянной -

дещортцией

Сетка

из сТ-элементов

-4 Ось

симпетрии

Сетка

из 1ЪТ-олемен/по

500 Степени свободы

Рис. 9.10. Пластины при распределенной по краю в виде квадратичной функции нагрузке. Сравнение результатов для треугольных элементов.

В первой задаче (рис. 9.10) рассматривается прямоугольная пластина постоянной толщины, к краям которой приложены параболически распределенные нагрузки. Подробности решения этой задачи на базе предполагаемых полиномиальных представлений напряжений и принципа минимума дополнительной работы приводятся в [9.14]. На вставке рис. 9.10 изображена представительная сетка треугольников с постоянной и линейной деформациями в элементах (CST- и LST-элементы). (Благодаря симметрии относительно двух осей рассматривается лишь четверть пластины.) Из рисунка также видно, какие еще виды сеток использовались с различным числом степеней свободы.

Представленные на рис. 9.10 численные результаты для смещения точки А в горизонтальном направлении демонстрируют высокую степень точности решений при относительно небольшом числе степеней свободы. Аналогичный характер сходимости и точность достигаются и при расчете напряжений, хотя, как указывалось ранее, здесь встречаются определенные трудности при интерпретации полученных численных результатов для напряжений. Решение, полученное на основе применения треугольных элементов с линейным распределением деформаций внутри них, существенно лучше решения, полученного для треугольных элементов с постоянными деформациями внутри элементов.

р ,

120 115 110 10Ь 100 9S 90 85 80

70 -65 -

60 -

Этапотое решение ((/[9.15])

gHiribi -

200 Степени ceododbi

Рис. 9.11. Конечно-элементный анализ консольной балки - треугольные элементы.

На рис. 9.11 представлены результаты, относящиеся ко второй задаче. Рассматривается изгиб консольной балки единичной толщины, к свободному концу которой приложена сила Р. Сила на конце приложена в виде распределенных по квадратичному за-