т4 --3 * -Hid

Рис, 9.15. Матрица жесткости прямоугольного элемента, основанного на предполагаемом поле напряжений (9.15).

и :i о

Z fk Э О

(и,- 2 + 3- J-

На рис. 9.14(b) показано поле смещения в элементе для единичного значения Us и при подавленных остальных степенях свободы. Заметим, что перемещение и линейно, а перемещение v меняется по квадратичному закону вдоль сторон, лежащих в перпендикулярном направлении. Так как для определения компоненты смещения на каждой стороне имеется лишь два угловых смещения, приходим к выводу, что поле перемещений этого элемента не удовлетворяет требованиям, обеспечивающим межэлементную непрерывность перемещений.

Используя функции перемещений (9.16), соотношения между деформациями и перемещениями (4.7) и формулы для жесткости элемента (9.7), получим матрицу жесткости элемента, представленную на рис. 9.15.

9.3.2. Несовместные моды [9.21]

Как показано на рис. 9.11 из п. 9.2.4, основанные на линейных полях перемещений матрицы жесткости треугольного элемента не обеспечивают достаточной точности при анализе изгиба балки. Поэтому можно ожидать, что матрицы жесткости прямоугольного элемента также не обеспечивают удовлетворительной точности при решении этой задачи. В п. 9.3.4 этот факт будет выявлен в результате численного эксперимента. Причину появления невязок можно выяснить, изучая простой прямоугольный элемент в состоянии чистого изгиба (рис. 9.16 (а)). В этом случае точные распределения смещений (рис. 9.16 (Ь)) даются формулами

иСгху, и=/,Сг{а-х), (9.17а, Ь)

где Cl и а - константы. Подставляя данные выражения в соотношение, связывающее сдвиговые деформации и перемещения Уху= = du/dy+dv/dx, можно проверить, чго условие равенства нулю сдви-

новесия (4.2) выражения (9.15), убеждаемся, что это - равновесное поле напряжений.

Чтобы построить матрицу жесткости, рассмотрим функции перемещений и и V, соответствующие соотношениям (9.15). Это можно сделать, выражая деформации через напряжения с помощью уравнений состояния в виде е=[Е]~о и затем интегрируя уравнения, связывающие деформации и перемещения. Таким образом, получаем

= (1 -I) (1 -Т1) 1 +1 (1 - п) 2 + l4Us +

ц(1-==) + 5С-Л)] ivi-va + v,-v,), (9.16) v(\-l)i\-ц)Vl + l(l-ц) vl + bWs + O-l) r]v,+

говых деформаций, характеризующее чистый изгиб, выполнено. Так как поле перемещений, задаваемое линейно меняющейся на сторонах элемента функцией перемещений (9.13), содержит только величину (9.17а) и описывает перемещения, изображенные на рис. 9.16(c), то и к исходному линейному полю перемещений необходи-

Рис. 9.16. Способы представления чистого изгиба: (а) состояние чистого изгиба; (Ь) точные перемещения, (с) перемещения в элементе - линейные поля

МО добавить моды в виде (9.17ь). Для общности желательно сохранить симметрию по л; и г/, поэтому добавим данные моды как к полю U, так и к полю v. Итак, имеем

LLN,JLN,J J =LLN,JLNbJ (9.18)

где LNiJ, {u} и {vy} - функции формы и значения смещений в узлах для линейного поля (9.13), а LNsJ, {u} и {Уд}-функции формы и узловые смещения несовместной дутой моды, добавленной для описания поведения при изгибе (см. (9.17ь) и рис. 9.16 (ь)).

Вначале матрица жесткости для элемента строится в терминах {и}, {и }, {V;} и {Уд}. Матрица жесткости для элемента, выраженная через {Uy-} и {Vy-}, получается в результате исключения дополнительных степеней свободы {ug} и (Уд) с помощью процедуры конденсации, описанной в разд. 2 8 После выполнения указанных операций оказывается, что результирующая матрица жесткости совпадает с представленной на рис. 9.15. Причину этого обстоятельства можно выяснить, рассматривая рис. 9 14(b), на котором изображены смещения на границе, соответствующие единичному