смещению рассматриваемого типа. Те же смещения получаются из (9.16) и очевидно, что они имеют вид дутых мод, введенных в проводившихся рассмотрениях.

9.3.3. Формулировки на базе гибридного метода напряжений [9.М1

В случае плоского напряженного состояния прямоугольные элементы позволяют пояснить применение гибридного метода напряжений, имеющего более самостоятельное значение, нежели приведенный в разд. 6.7 пример.

Для плоского напряженного состояния полем напряжений, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям равновесия, является поле, определяемое с помощью (9.15) и изображенное на рис. 9.14(b). Используя обозначения из разд. 6.7, заметим, что для построения матрицы жесткости необходимо знание трех основных матриц, а именно, матриц [Z], [L] и 1У\. Согласно (6.77), матрица [Z1 содержит лишь коэффициенты уравнений для напряжений, поэтому имеем

Pt Р2 Рз Р4 Ps

1 г/ О О О [Z]= О О 1 л: О . (9.19)

[о О О О Ij

В рассматриваемом случае {Р/}= L Pi Ра Рз Р4 Рс J

Матрица [L1 задает распределение усилий на сторонах элемента, совместимых с полем напряжений в нем. Изображенное на рис. 9.14(a) напряженное состояние также задает значения граничных усилий Тх , Ту и т. д. Например, 7xj 3=(Pi+P2 у)- Таким образом, можно выписать уравнение

T = [L]P/b (6.61)

Т= lTx, J T JyJ, Jy Jx,.Jy ., (9.20)

а коэффициенты для [L1 задаются из (9.15).

Для смещений на границе выбираются представления в виде линейных функций. Так, вдоль края 2-3 поле перемещений описывается функцией

После того как функции указанного типа будут записаны для всех сторон, их можно объединить в виде

[/] =

f[Lr[K]dS

(6.62)

(S - полная граница элемента) и

J [Zr[E]-4Z]d(vol)

(6.78)

Оказывается, что матрица жесткости, полученная указанным выше способом, совпадает с изображенной на рис. 9.15 матрицей жесткости, выведенной с использованием поля перемещений (9.16). Поле перемещений (9.16) соответствует, разумеется, используемому выше полю напряжений. Однако существует одно различие, заключающееся в том, что полю перемещений в чисто жесткостной формулировке соответствуют нелинейные перемещения на краях, а для выписанной выше формулировки - только линейные смещения на краях. Это объясняется тем, что нелинейные компоненты смещения в чисто жесткостной формулировке (см. рис. 9.14(a)) направлены перпендикулярно действию сил, вызывающих указанные перемещения, и поэтому эти силы не производят работу.

Тот факт, что в представленном примере матрицу жесткости можно построить с помощью обычных жесткостных формулировок, а не в результате гибридного анализа, не означает, что так можно поступить всегда в гибридных методах жесткости для плоско-напряженного состояния. С использованием различных полей напряжений и перемещений можно построить практически безграничное число вариантов формулировок на базе гибридных методов жесткости. Гибридный метод жесткости полезен, по крайней мере, в двух случаях. Некоторые параметры перемещений, полученные указанным способом, лежат между верхней границей, определенной равновесной формулировкой, и нижней границей, определенной совместимой формулировкой, если внутреннее поле напряжений соответствует первой, а перемещения на границе - последней [9.23]. Кроме того, можно ввести выражения, которые задают сингулярности в решениях для напряжений, как это случается в конструкциях у начала трещин [9.24].

й= L 1-21-. f4-iJ (9.21)

а (и) и (v) определяются согласно (9.13Ь) и (9.13с). Образуем теперь, согласно данному в разд. 6.7 описанию гибридного метода, матрицу жесткости элемента lk] = lIV где

9.3.4. Сравнение численных результатов

На рис. 9.17 изображен график зависимости вычисленного значения смещения конца балки vEi/P от числа использованных при анализе степеней свободы для прямоугольных конечных элементов в задаче об изгибе нагруженной на свободном конце консольной балки (см. п. 9.2.4). Представлены результаты как для прямоуголь-

120 115 110 105 100 95 90 85 60 75 70 65 60

Эта/iOHHoe решение (w [9.15])

- X

Пря1101/гп/1бный эленент с линейным полем перемещении Snecme с несойместимыт подами (матриаа жесткости из рис. 9.15)

Прямоугоньный элемент о линейным полем перемещении (матрица жестности из рис. 9.13)

L J -1

200 Степени свободы

Рис. е. 17. Конечно-элементный анализ консольной балки - прямоугольные элементы.

ных элементов, построенных на базе перемещений, меняющихся по линейному закону вдоль границ элемента (матрица жесткости изображена на рис. 9.13), так и для элементов, основанных на поле перемещений (9.16) (матрица жесткости изображена на рис. 9.15). Последние, как было показано, можно также интерпретировать как полученные на основе гибридных жесткостных формулировок или базирующихся на линейных перемещениях вдоль границы, отвечающих дутым модам.