X, и

X, и

г, W

Рис. 10.2. Рост числа степеней свободы с увеличением размерности задачи, (а) Одномерный случай (10 степеней свободы); (Ь) двумерный случай (200 степеней свободы); (с) трехмерный случай (3000 степеней свободы).

10.1. Основные соотношения 10.1.1. Уравнения теории упругости

Основные соотношения для трехмерных элементов даются линейной теорией упругости. Рассматривая равновесие бесконечно малого элемента, имеем (для простоты объемные силы исключены)

да дХух ду дх

до Тг

(10.1)

10.1. Основные соотношения

Линейные соотношения между деформациями и перемещениями записываются в виде

ди ди , ди

. Уху- ду

dv , dw

ду v ~дг dy

dw оц) du

(10.2)

Ha практике может оказаться необходимым применять уравнения состояния с 21 упругой константой. Тем не менее в основном внимание в данной главе уделяется вопросам построения уравнений жесткости для элемента и рассмотрение ограничивается случаем изотропного материала, для которого

(1--ц)(1-2ц)

о=[Е] е,

(10.3)

10.1.2. Потенциальная анергия

Энергия деформации, входящая в выражение для потенциальной энергии, имеет вид

и = ~ j e[E]8d(vol)-je[E]8 id(vol)-}-C(e° ), (10.4)

где 8 определяется согласно (10.3) и при учете температурного расширения

[к] =

j[D]4E][D]d(vol)

(10.8)

{F i = f [ОГ [E]{8i d(vol)\. (10.9)

I vol 1

в других рассматриваемых в этой главе случаях выражать поля перемещений через узловые перемещения неудобно и требуется использовать обобщенные параметры перемещений (а). Тогда, согласно (5.6а), преобразование обобщенных параметров перемещений {а} к деформациям можно записать в виде 8=[С1 {а}, а из (5.4а) получим преобразование узловых перемещений к обобщенным перемещениям: {а} = {В}~{А}. Поэтому матрица жесткости дается выражением

[к] = ([В]-у

j[Cr[E][C]d(vol)

[В]-1. (10.8а)

10.2. Построения тетраэдральных элементов 10.2.1. Общие замечания

В разд. 8.6 показано, что понятия тетраэдральных координат (Li, Lj, La, L4) и тетраэдра Паскаля , естественно, приводят к определению семейства тетраэдральных элементов первого и более высокого порядков. Такие элементы характеризуются компонентами трансляционных перемещений (и, v, w) в каждом узле. Как показывает рассмотрение плоских треугольных элементов, в качестве степеней свободы можно выбрать не только компоненты трансляционных перемещений, но и значения их производных (ди/дх, ди/ду и т. д.) в узлах. Поэтому для элементов первого и второго порядков не существует альтернативных элементов из-за недостаточного числа степеней свободы, однако альтернативные элементы можно

где а - коэффициент температурного расширения, Г- приращение температуры, отсчитываемое от температуры, при которой в теле отсутствуют напряжения.

Как и в гл. 9, удобно записать некоторые поля перемещений в элементе в терминах узловых перемещений (А). В этих случаях преобразование от узловых перемещений к деформациям можно записать в виде (см. (5.6с))

8=[0]{Л}. (10.6)

Энергия деформации равна (см. разд. 6.4)

= [k]H]-LAJ {Fn4+C(8 ), (10.7)