построить в случае тетраэдральных элементов, основанных на кубических функциях (рис. 10.3).

Полный кубический полином содержит 20 членов, поэтому элемент, который характеризуется только трансляционными перемещениями, может иметь, как показано на рис. 10.3(a), 20 узловых точек. В этих узлах задается 60 степеней свободы, используемых

Только mpaнcля(uoннoe смещение в каждом из 20 узлоб

Чг. К,

Степени сйобоЗы й вершине

, Степени свободы !, V, 1\>\для точки, лежащей на середине грани

Рис. 10.3. Возможные типы тетраэдральных элементов, основанных на полях перемещений в виде полных кубических полиномов.

для описания перемещений ы, у и ш. Если необходимо сохранить полноту полиномиальных функций, применяемых для построения элемента с участием степеней свободы в виде производных от перемещений, то такой элемент должен также содержать 60 степеней свободы. Способ задания указанных степеней свободы изображен на рис. 10.3(b). Каждой из четырех вершин соответствует по три компоненты трансляционного перемещения и для каждой компоненты перемещения-по три частные производные, всего 12 величин на узел. Так, например, для компоненты и имеем

ди ди ди ди ди д.

i.....аГ i & ду 57 4 аГ,.....д

(10.10)

и аналогично для v и w. Это приводит к появлению 48 степеней свободы. Дополнительные 12 степеней свободы можно задать в виде трансляционных перемещений центров каждой из четырех граней (см. рис. 10.3(b)). Однако иметь узлы в центрах граней неудобно. Поэтому предпринимались попытки для построения элемента со степенями свободы только в вершинах, т. е. с 48 степенями свободы. Приводимое ниже обсуждение достоинств, присущих альтернативным формулировкам для тетраэдрального элемента, дает понять, почему элементу с 48 степенями свободы уделяется такое внимание.

Были проведены обширные исследования по оценке вычислительной эффективности использования различных видов тетраэдральных элементов [10.1 -10.3]. В табл. 10.1, взятой из [10.3], указы-

Таблица 10.1. Тетраэдральные конечные элементы

Обозначение Представление

Число узлов

Число степеней свободы, приходящихся

Замечания

на узел 9ле-меит

а 3 я 5

о. cu к О я ш

4 3 12 Поля перемещений в внде 0.6 полного линейного полинома (постоянная деформация); подробнее см. 10.3-10.5] и [10.19]

10 3 30 Поля перемещений в ви- 4.2 де полного квадратичного полинома (линейная деформация); подробнее см. [10.4]

20 3 60 Поля перемещений в ви- 13.8 де полного кубического полинома; подробнее см. [10.6]

8 60 Поля перемещений в ви- 8.4

де полного кубического полинома; подробнее см. [10.6]; 12 степеней свободы в вершинах и вдоль ребер (и, v, w, Ux, .... Шг) и 3 степени свободы на серединах граней {и, V, w)

16 3 48 Трансляционные переме- - щения в качестве степеней свободы; поля перемещений в виде неполных кубических полиномов; подробнее см. [10.21 и [10.6]

4 12 48 Перемещения и произвол- 2.4 ные от перемещений в качестве степеней свободы; поля перемещений в виде неполных кубических полиномов; подробнее см, [10.1- 10.31

вается среднее число степеней свободы, приходящихся на один элемент, для системы с бесконечным числом элементов; кроме того, это число равняется средней полуширине ленты в соответствующих глобальных матрицах жесткости. Если используются эффективные методы решения алгебраических уравнений, то цена вычислений пропорциональна приблизительно корню квадратному из полуширины ленты. Кроме того, при оценке относительной эффективности необходимо учесть и другие факторы. Так, сказанное выше подразумевает, что для задания глобальной конфигурации требуется фиксированное число элементов, но следует, конечно, учитывать, что с ростом порядка элемента увеличивается и точность решения. Из тетраэдральных элементов, представленных в табл. 10.1, наибольшими преимуществами обладает элемент Т48. Средняя полуширина ленты матрицы, отвечающая этому элементу, невелика из-за наличия степеней свободы в виде производных от перемещений. Это свойство обсуждалось в разд. 9.2 для плоских элементов со степенями свободы в виде производных от перемещений.

Следует в то же время отметить, что в случае неоднородности материала, когда теоретически нельзя допустить постоянство деформаций, возникают проблемы, связанные с применением степеней свободы в виде производных от перемещений. Если имеет место относительно слабое изменение свойств от точки к точке (например, при наличии градиента температур для материала, свойства которого зависят от температуры), требование к непрерывности деформаций (производных от перемещений) оказывается не столь существенным. Если же существует значительная степень неоднородности материала, условие непрерывности деформаций неприемлемо. В этом случае можно связывать лишь степени свободы в виде трансляционных перемещений.

Кроме того, следует учитывать факторы, обусловленные представлением геометрических характеристик конструкции и особенно криволинейных границ. Конечно, можно использовать один тип представления для задания полей перемещений и другой - для описания криволинейных границ элемента. Остальные используемые при этом функции могут также различаться. Тем не менее оказывается, что наиболее удобно использовать одни и те же виды ап-прокси.маций для геометрических характеристик и полей перемещений.

Учитывая сказанное, ограничимся ниже построением тетраэдральных элементов лишь с линейным полем перемещений и элементов Т48. Первые являются базовыми для всего семейства тетраэдральных элементов; элементы более высокого порядка (с квадратичными и кубичными полями перемещений) из этого класса легко формулируются как обобщение этих элементов. Введенные в разд. 8.4 тетраэдральные координаты позволяют построить функции формы для представления любого порядка и приводят к алгебраичес-