Ai = с [(Ф5/1)2 + (Фо/2)2]; = с (Фоу1 + Фоу2);

5i = 2с; Y = Фа - Фа/ (0) =-ф2 - Фго/;

1от = Фо/т-ф2/(0), (/п= 1; 2).

Система уравнений (12) является наиболее общей и описывает движение звеньев вариатора в период заклинивания МСХ как при наличии явления выбега, так и при отсутствии данного явления. В последнем случае, когда МСХ-П расклинился, в системе (12) следует положить Фо/2 = 0 и = с. В дальнейшем будем рассматривать динамику заклинивания МСХ при наличии явления выбега. При этом полученные решения относятся и к случаю отсутствия явления выбега при котором для различных участков коэффициенты л4, л5, будут иметь указанный выше вид.

В приведенные выше уравнения (12) входит движущий момент УИд. Обычно импульсные вариаторы приводятся в движение асинхронными электродвигателями с короткозамкнутыми роторами и в значительно меньшей мере двигателями постоянного тока с независимым либо параллельным юзбуждением при питании от сети бесконечной мощкости. При определении Мд можно воспользоваться статической характеристикой электродвигателя в виде

Мд = М -

(ф1(0 ),

(13)

где М - номинальный момент ротора двигателя; ю и - угловые скорости соответственно идеального холостого хода двигателя и номинальная; v - коэффициент крутизны статической характеристики; ф - угловая скорость ротора двигателя.

Однако в некоторых случаях при определенных соотношениях параметров двигателя и приводимой им в движение системы электромагнитные переходные процессы в двигателе могут существенно повлиять на динамические явления в механической системе [20], и поэтому необходимо пользоваться динамической характеристикой двигателя, которую можно представить

Мд = М -

(ф1- н).

<14)

где Тэ - электромагнитная постоянная времени двигателя.

Статическую и динамическую характеристики двигателей можно записать в несколько другом виде:

3 + Мд +

1 1

Ф1=-7Г

(15) (16)

Движущий моМент задан по статической характеристике электродвигателя. При использовании выражения (15) система (12) примет вид

Лхф! =;= Л2Ф2 -f Азц>1 -\- Ащ) - Лбу = а н= Мс - сюФо;

=Р Л2Ф1 + Бф2 - Лдф + BiY = Mci; + сю, (17)

Следует заметить, что так как iz <0, \iz\> \ и kJ < J, то Ла <0.

Рассмотрим случай, когда Мс = Мс {t). Характеристическое уравнение системы (17) имеет вид

р4 {АхВ - А1) + рАзВ + (Л4Б + AiBi 2Л2Л5) + pAaBi = О, (18)

откуда видно, что один корень будет нулевым: pi = 0. Используя для анализа алгебраического уравнения третьей степени критерий Рауса [29], можно сделать вывод, что для реальных параметров системы вариатора корнями уравнения будут

Ра = -а; Рз, 4 = - 5 It fp.

Тогда общие решения однородных уравнений системы (17) будут

Фо Ci -f ce-t + e-s (cg sin + C4 cos t);

To = CiXi + Cafae-* + e-s< [сх sin f,t + cx cos t), (19)

где коэффициенты x, x, Xg, x находятся no выражению

; (n=l;2;3;4);

(20)

Ci, Ca, Cg, C4 - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями

Ф(0) = 0, Y(0)-0, ф(0) = фо, Y(0) = Yo.

Зная корни Характеристического уравнений системы, частные решения неоднородных уравнений можно записать в виде

Ф,. = -

J Ai (т) dx j t- -> M (T) dx

a[(a-S)2 + p21

[S (S - a) - p2] e- (- > Ai (т) sin (t-x) dx

(S2+p2)[(S-a)2 + p2]p

(2S - a) I e- (- > Ai (т) cos ?,{t - x) dx

0

(S2 + p2)[(S-aP + p2]

(22)

где Ai - определители, составленные из коэффициентов при неизвестных левой части системы (17), в которой вместо коэффициентов при искомой функции подставлена правая часть уравнений системы. Так, для координат-ф1 и фа определители А и Да соответственно запишутся

а Мс (t) - сШо, 22 - Лз

AiD AsD + Ai] - соф;о + а Мс {t) AiD-As; cb + iMcit)

(23)

где D-оператор, обозначающий действие дифференцирования.

Использул полученные выражения (19) и (22), строим решения для первого участка. Состояние системы (углы поворота и угловые скорости) в конце первого участка будет являться начальным условием для второго участка и т. д. Таким образом, получая решения по участкам и припасовывая их, находим решения для всего периода рабочего цикла преобразующего механизма. Зная законы движения звеньев вариатора, по выражению (10) находим функцию изменения угла относительного поворота обойм МСХ. Упругий момент, возникающий при заклинивании МСХ, определится

М (О = с1 (t).

(24)

Из уравнений системы (17) и характеристического уравнения (18) видно, что наличие члена Л3Ф1 указывает на то, что в системе вариатора при заклинивании МСХ имеет место явление демпфирования, которое происходит за счет падения угловой скорости ротора двигателя вследствие наклона статической характеристики.

В случае, если Мс = const, то частные решения (22) представятся в виде

Ai(l e- 0

(25)

(26)

[S (S - а) - Р] Ai [- St-* sin р< + р (1 - е- cos pi)] . (s2 + p2)2[(s-a)2 + p2]p

(2S - g)Ai l-* sin pi + S (1 - e- cos pQ] (S2 + py[(S-a)2 + p21

Когда внешняя нагрузка представлена в виде

Мс = Мс(фв),

Мс = Мс (фв),

Мс = Мс (Фв; Фв; t), то малость рассматриваемых участков позволяет принять Мс Мс ,

где Мсо - значение момента сил сопротивления в конце предыдущего участка, т. е. в начале рассматриваемого. Учитывая, что известен закон движения ведомого звена вариатора

фв (О = ф1 (t) iz4>2 (t)

на предыдущем участке, величину Мсо легко вычислить при любом законе изменения М- Так как в рассматриваемых случаях Ai = const, то частные решения будут представлены выражением (25).

Полученные выше решения сложны и не позволяют в явной форме выявить влияние различных параметров системы вариатора (моментов инерции ведущей и ведомой систем, жесткости МСХ, угловой скорости ротора приводного электродвигателя, величины и переменности передаточного отношения преобразующих механизмов и вариатора, а также движущего момента и момента сил сопротивления) на величину динамических нагрузок, возникающих на МСХ при заклинивании.

Реальное соотношение параметров вариатора

; позволяет величиной kJ пренебречь, и тогда система уравнений (12) будет иметь вид

а1ф -+- ау 4- азф - aiy = Мдо Мсо - соФо;. а2ф + biy - а4ф + CY == Mcoi +

8 в. Ф. Мальцев

а1-=д + Л; /д- + 4 + ( гз + Ио);

а2 = ЛС; аз===с(Фо); а4 = сФо; biJbiz-

Характеристическое уравнение системы (27) дает Pi.2 = 0; рз,4 = ±iP;

p--i/-. +;f.r-. (28)

г JjiJbIz

Учитывая, что 1 i: 1Д>о = - мгновенное значение передаточного отношения вариатора, величину JJi можно рассматривать как приведенньщ к ведущему валу вариатора момент инерции ведомой системы. Тогда выражение (28) можно записать в виде

Сп(Уд + вв)

/д / ВВ

(29)

гдесп --приведенная к ведущему валу жесткость МСХ.

Выражение (29) определяет частоту собственных колебаний двухмассовой недемпфированной системы.

Для нахождения решений системы (27) воспользуемся преобразованием Лапласа. Решая эту систему при начальных условиях. (21), после преобразований получаем

ад ;

-(1 -COSP0+ 4>ioh-

sin 6 4- + мв ,

-411

(1 -cosPO;

(30)

0 +°;>2 (1-COSP0+

д +вв

Фго + So 1 ±: -7-, .о -/д + в

Д + Vb

sinp + if°lf#- +

.РК + в) -

cospo,

(31)

?0 = Фо - ф20; о = фюФб - ф20-

Учитывая, что угол относительного поворота обойм МСХ определяется как

I = Ф (9i) - Фа,

подставляя функцию Ф (Ф1) в виде ряда Ф(Ф1) = Фо

ФоФ + Фоф2 + ФофЗ + ...,

(32)

используя выражения (30), (31) и ограничиваясь четырьмя членами ряда (32), а также не учитывая знак третьей производной Ф, угол относительного поворота обойм МСХ после преобразований и пренебрежения величинами второго порядка малости определим выражением

; (0 = 0 cos p

1о sinP-4 .f-d - cosPO +

4-Ф;фУ-41Фо 1ф?о + ff il-cosU). (33) Тогда упругий момент на МСХ запишется

М (t) = Мо cos Р + sin р + Ме, (1 - COS РО +

ЛдО-д(ОФоФ10

(l-cosPO, (34)

где Мо и Мо - значения Л1 и М в начале рассматриваемого участка;

-iz{W±Wl)

в(д+1)

Л1 - момент, который определяет- динамические нагрузки от внешних сил при абсолютно жестких звеньях вариатора. Здесь необходимо отметить, что Ф (ф1) в период рабочего цикла изменяется в тех же пределах, что и Ф(ф1)-

Из полученного выше выражения видно, что суммарный угол относительного поворота обойм МСХ является результатом воздействия силовых и кинематических возмущений. Последние являются результатом нелинейности передаточной функции Ф (Фх) преобразующего механизма.

Так как время рабочего цикла у планетарных вариаторов составляет сотые либо тысячные доли-секунды (0,01-0,008 с), то для инженерных расчетов при определении упругого момента в последнем выражении членами, содержащими можно пренебречь, тогда получим

м it) м, + щ + - [р2 (Мех - MJ + сФ-фо] fi:

(35)

Движущий момент задандинамической характеристикой двигателя. В этом случае си-