Глава 4

ПРОДОЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ

И ДЕФОРМАЦИИ В ЗУБЧАТОМ СОЕДИНЕНИИ

Продольная неравномерность распределения нагрузки в зубчатом соединении вызывается двумя независимо действующими группами причин: технологическими и конструктивными.

К технологическим причинам относятся:

1) отклонение от параллельности и прямолинейности боковых поверхностей зубьев;

2) конусность втулки или вала.

Несложно убедиться, что второй вид погрешности влияет только на соединения с эвольвентным и треугольным профилем и его влияние аналогично первому.

К конструктивным причинам относятся:

1) различные углы закручивания вала и втулки при передаче основной нагрузки - крутящего момента;

2) дополнительные силовые факторы (сложная нагрузка) в виде изгибающих моментов, действующих в плоскости, проходящей через ось соединения;

3) избыточные связи, вызывающие перекос втулки относительно вала.

Первая из этих причин связана с конструктивными особенностями соединения (длина, жесткость вала и ступицы при кручении), вторая и третья - с конструкцией узла, в который входит соединение.

Продольная неравномерность распределения нагрузки оценивается коэффициентом продольной неравномерности, который равен отношению максимальной нагрузки на наиболее нагруженном зубе соединения к средней нагрузке на том же зубе. Общую неравномерность распределения нагрузки можно оценить коэффициентом общей неравномерности, который равен отношению максимальной нагрузки на наиболее нагруженном зубе к средней нагрузке в соединении.

Когда закручивание вала и крутящие моменты вызывают концентрацию нагрузки с разных сторон, следует сравнить общую неравномерность у торцов и для дальнейших расчетов использовать большее из полученных значений.

4,li Продольная неравномерность распределения нагрузки,

вызванная деформациями кручения вала и ступицы

Распределение нагрузки вдоль зубьев соединения, передающего основную нагрузку - крутящий момент М, в принципе может быть найдено путем рассмотрения совместного кручения упругого вала и упругой ступицы для предельного случая бесконечно большого количества пар зубьев.

Однако принципиально возможный путь решения задачи методом теории упругости связан со значительными математическими трудностями. Кроме того, количество пар зубьев в реальных соединениях конечно и сравнительно невелико, в связи с чем возможны существенные погрешности. Инженерный способ решения этой сложной пространственной задачи основан на теории балок на упругом основании в линейной и нелинейной постановке и использовании гипотез сопротивления материалов [6, 7].

Условия совместности деформаций вала и ступицы для произвольного сечения, определяемого продольной координатой и (начало координат помещено в сечении вала, свободном от нагрузки), имеют вид согласно рис. 4.Ь

Щ + v = 0,5dcp [ф1(и) - ф2( ) ], (4.1)

где Vi,2- перемещения зубьев вала и втулки с учетом всех видов деформаций; (pi{u) и (pi{u) - углы закручивания вала и втулки в сечении и.

Используя гипотезу Винклера, можно записать

где c{q) - суммарная распределенная жесткость пары зубьев соединения, в общем случае зависящая от нагрузки;

Рис. 4.1. Схема совместной закрутки вала и ступицы

1 ( ) - крутящий момент в сечении вала с координатой и; q (и) - интенсивность распределенной нагрузки в сечении с координатой и, Н/см.

Подставляя в (4.1) значения углов закручивания фх (и) и ф2 (и) и учитывая соотношение (4.2), получим дифференциальное уравнение кручения, имеющее вид для случая, когда снятие момента производится со стороны подвода:

rf2A!i (V) гс (д)

/И,(ы) = 0, (4.3)

и для случая, когда снятие момента производится со стороны, противоположной подводу.

Мг(ц)-\-

М = 0.

(4.3а)

Граничные условия для обеих форм уравнения одинаковы:

Ml (0) = 0. ы = В, /И, (В) = М.

В наиболее часто встречающемся случае G,Jpi = const и GJ= const. Величину жесткости пары зубьев при сред1шх напряже1шях смятия (более 15 МПа) также можно считать постоянной. При этих условиях дифференциальное уравнение кручения имеет постоянные коэффициенты. Из его решения с учетом (4.2) можно получить выражения для интенсивности нагрузки в соединении. Для случая, когда снятие момента производится со стороны подвода,

9( ) = d-;li

для случая, когда снятие момента производится со стороны, противоположной подводу.

dcpzK

sh Ки.

(4.4а)