в качестве примера рассмотрим расчетную схему одноступенчатой передачи, показанную на рис. 6.8, одна из шестерен которой имеет зубчатое соединение с валом, передающее нагрузку неполным числом зубьев.

В общем случае афЬ, поэтому зубчатые колеса кроме поперечных перемещений совершают еще и продольно-угловые. Расчеты показывают [12], что частота этих перемещений по крайней мере на порядок ниже, чем поперечных, кроме того, эти перемещения значительно меньше влияют на нагруженность звеньев. В связи с этим продольно-угловыми перемещениями можно пренебречь и считать а = Ь и сха = %в - 0,5сх. Приняв за обобщенные координаты фд, ф1, и Ха и учитывая, что

Ф2 = Ф1 - -Ц {Ху + 2) (6.17)

(где t - передаточное число от вала 7 к валу 2\ xi, х - поперечные перемещения вдоль линии зацепления; р - межосевое расстояние), получим систему дифференциальных уравнений второго порядка, описывающую свободные колебания системы:

(/l + /21) *1 - / 21? (.1 + 2) + Сф21 [Фх ~R{Xyr = fa\

(mi + hyW) Xi + riR (x - i/R) + (ci + c,R) Xy + (ma + IiR) *2 + hiR ii - ifi/R) + + c2iR) ДГа +

+ cnR4xi-4>i/R) = o,

(6.18)

где Ma = ci (Фм - фО - момент, скручивающий участок вала между нагрузкой М и шестерней /; /21 = = /j/i* - момент инерции масс выходного вала, приведенный к входному валу; Сц,21 = ca/t* - угловая жесткость выходного вала, приведенная к входному валу;

= (1 + t)/p - величина, обратная радиусу приведения угловых величин к линейным.

Для отыскания собственных частот система (6.18) записывается в матричной форме

CW+AW=-0, (6.19)

где CW - симметрическая матрица коэффициентов инерции; AW - симметрическая матрица коэффициентов же-

Таблица 6.1. Матрицы коэффициентов инерции

и жесткости

СТК0СТИ (табл. 6.1). Уравнение (6.19) решается на ЭВМ одним из итерационных методов [28 J.

Для построения амплитудно-частотной характеристики в систему (6.18) необходимо ввести члены демпфирования, отражающие рассеяние энергии. Обычно в динамических расчетах принимается линейная зависимость силы сопротивления от скорости [ вязкое демпфирование]. Значение коэффициентов демпфирования может варьироваться в весьма широких пределах; в основном оно определяется гистерезисными потерями [27]. Система (6.18) с членами демпфирования имеет вид:

мФм + Ф! (Фм - Фт) == - Ма]

(h + /21) Ф1 - hiR (Хг + х) + К21 [Фг -R{Xi-{- х-,)] +

+ С21 [Ф1 - R (Xl + 2)1 = Ма-,

( 1 -f hiR) Xl + IR {X, - ilR) -Ь (K,i + KiR- ) Xl +

+ 21? {X - fPllR) + + CoiR) Xl -f

+ c2i (2 - 4>i/R) = 0;

{tn, -f X; + InR (Xl - 4>i/R) + (K + KR) X, + + KnR (Xl - Ф1/7?) + (c,2 + c.2i/?) 2 -f + c2iR kXi-4>i/R)=0,

(6.20)

где Кф1 - коэффициент демпфирования при кручении вала Jf; Kai = KJi - коэффициент демпфирования при кручении вала 2, приведенный к валу /; Kxi, Кх2 - коэффициенты демпфирования при изгибе валов 1 и 2.

Блок-схема электронного аналога системы дифференциальных уравнений (6.20) показана на рис. 6.9. С помощью АВМ можно получить амплитудно-частотную характеристику ;и исследовать зависимость резонансных амплитуд от различных параметров.

Определение текущей жесткости звеньев. В систему (6.20) входят уравнения с переменными коэффициентами Сф£ и Cji. Переменная жесткость звена / обусловлена тем, что в состав этого звена входит соединение, передающее нагрузку неполным числом зубьев.

Уравнения равновесия втулки имеют вид конечных тригонометрических сумм, число членов в которых либо равно числу зубьев соединения, либо меньше на целое число, т. е. равно числу одновременно нагруженных зубьев. Замена суммирования интегрированием подразумевает замену конечного числа членов бесконечным; при этом скрадывается переход от четного числа нагруженных зубьев к нечетному (при передаче нагрузки частью зубьев) и связанное с этим изменение жесткости. При распределении нагрузки между всеми зубьями одновременно это обстоятельство (условное увеличение числа зубьев при переходе к интегрированию) не играет роли, так как число нагруженных зубьев не меняется в течение цикла - поворота соединения на один угловой шаг.

Если после подстановки условий совместности деформаций (3.12) и (3.13) в уравнения равновесия не переходить к интегрированию, а произвести непосредственное суммирование, получим [111:

Р (гр + S2 + 2kc) (гр - sg) - ZVsjkp (zp - Sj cos 26) .

2P (Zp - cos 6) (Угрр - si) + 2ysiS2 sin 26 sin 6 ZpCB (Zp-S2)(S-f2fe)

(6.21) (6.22)

где S = Zp -Ь S2 - 2sf/zp; si = sin 0,5ZpP/sin 0,5P; S2 = = sin ZpP/sin P; Zp - число зубьев, одновременно передающих нагрузку. Остальные обозначения те же, что ИБП. 3.3.