Теория вихревых движений основывается на теореме Гельмгольца, которая до настоящего времени представляет собой наиболее значительный вклад в гидродинамику.

По всей строгости эта теорема применяется только для движения жидкостей, в которых отсутствует трение и которые имеют постоянную, или зависящую только от давления, температуру. Однако когда эти условия точно не выполнены и отличаются незначительно от указанных, теорема также применима. В этом случае можно рассматривать полученные результаты как точные, но представляющие только первое приближение.

Вихревые движения играют значительную роль в метеорологических явлениях - роль, которую Гельмгольц пытался уточнить.

Делались также попытки найти в существовании подобных вихревых движений механическое объяснение мира. Вместо того чтобы представлять пространство занятым атомами, которые разделяют огромные расстояния по отношению к их собственным размерам, сэр Уильям Томсон допустил, что материя непрерывна. Однако при этом некоторые порции оживлены вихревыми движениями, которые, по теореме Гельмгольца, должны сохранять собственную индивидуальность.

Наконец, уравнения, определяющие вихревые движения, имеют некоторую аналогию по форме с уравнениями электродинамики. Это естественно ведет к сближению двух теорий и в некоторых случаях позволяет из полной разрешимости задач в одной из теорий решить проблемы, имеющиеся в другой. Кроме того, было предпринято несколько попыток, чтобы установить еще более тесную связь между этими теориями.

Напомнив уравнения гидродинамики, я доказываю теорему Гельмгольца и развиваю свои следствия относительно движения жидкостей, сравнивая их с результатами электродинамики.

Глава 1 Теорема Гельмгольца

1. Уравнения гидродинамики. Пусть xq, уо, zq - координаты частицы жидкости в начальный момент времени t = О, у, z - ее координаты во время и, w - составляющие скорости; р - плотность жидкости, р - давление.

Выберем в качестве переменных жо, Уо, о? ? являющиеся системой лагранжевых переменных, или ж, у, z, определяющие систему переменных Эйлера. Примем следующие обозначения, вводя через

du du du du dt dxo dyo dzo

производные no отношению к лагранжевым переменным и через

ди ди ди ди dt дх ду dz

производные по отношению к эйлеровским переменным.

В лагранжевой системе ж, у, z являются функциями от жо, Уо, о? t.

dx dy dr

= = являются составляющими скорости, a

du dv dw dt dt dt

представляют собой составляющие ускорения.

Для того чтобы записать одну систему переменных через другую, достаточно применить обычные правила дифференцирования, что приводит к формуле

dt dt dxdt ду dt dz dt

du ди I ди I ди , ди

рдх dt дх ду dz

2. В последующем будем полагать, что ж, у z являются непрерывными функциями жо, 2/0? 0- Это условие, вообще говоря, выполнено не всегда. Действительно, пусть два сосуда, разделенные перегородкой с открытым отверстием, заполнены жидкостью и в одном из них давление больше, чем в другом. Это приведет к тому, что жидкость в трубке получит равномерное движение, а жидкость в сосудах останется неподвижной. Предположим, что трубка имеет форму цилиндра, параллельного оси х.

Кроме того,

dp до до до до

dt dt dw ду dz

Пусть имеется элемент объема б?г, тогда масса жидкости, которую содержит данный элемент, - pdr. Обозначим через рХ dr, pY dr, pZ dr проекции на оси равнодействующей всех сил, которые действуют на этот элемент. Уравнения гидродинамики, выражающие состояние равновесия этого элемента, будут иметь вид

г-- i---

Для того чтобы получить из этих уравнений уравнения гидродинамики, необходимо к действительным силам добавить фиктивные силы инерции (принцип Даламбера). Составляющие этих сил инерции соответственно равны произведению составляющих ускорения на массу с измененным знаком, то есть

1 du л dv 1 dw

.pdr-, -pdr-, -pdr-.

Следовательно, уравнения гидродинамики можно представить в форме: 1°. В лагранжевой системе

др j du др dv др dw /ч

рдх dt рду dt pdz dt

2°. В эйлеровой системе