вдоль первого разреза и постоянную величину В вдоль второго, обычно отличную от А.

Если контур интегрирования С пересекает только первый разрез один раз, то

Jc = A.

Если контур С пересекает второй разрез также только один раз, при этом не пересекая первый, то

Jc, = в.

Наконец, в общем случае, если контур интегрирования пересекает первый разрез п раз в направлении по часовой стрелке и п раз против часовой стрелки, а второй разрез - р раз в направлении по часовой стрелке и р раз против, то имеем

J = {n-n)A + {p-p)B,

Глава 3

Определение компонент скорости как функций компонент вихря. Частный случай жидкости

33. в п. 3 мы установили уравнение непрерывности для общего случая

др д{ри) д{ру) djpw)

dt дх ду dz ~

Если речь идет о жидкости, то плотность р постоянна и это уравнение сокращается до

М + 1 + 1 = 0. (2)

дх ду dz

Предположим, что вихрь повсюду равен нулю, иначе говоря, выражение

и dx -\- V dy -\- W dz

является полным дифференциалом dcp, где ср - функция скоростей. Тогда уравнение непрерывности запишется:

А = 0,

полагая, как всегда,

дх ду dz

34. Теорема. Существуют два случая, где условия непрерывности могут выполняться, только если жидкость покоится:

1° Когда жидкость заполняет бесконечное пространство и покоится в бесконечности-,

2° Когда жидкость полностью заполняет замкнутый односвязный сосуд.

dz) \

dT = 0.

Подынтегральное выражение является существенно положительным, так как это сумма квадратов. Таким образом, это равенство влечет за собой следующее

=0 =0 =0 дх ду dz

и = О, V = О, W = 0.

Следовательно, скорость равна нулю и жидкость покоится.

36. Жидкость, полностью заполняющая неподвижный сосуд. 1° Односвязный сосуд. Применим еще раз теорему Грина, принимая за поверхность интегрирования поверхность стенок сосуда, а за объем - объем сосуда. Так как стенки сосуда неподвижны, то скорость

Докажем эти два утверждения, основываясь на теореме Грина, которая выражается уравнением

Интеграл в левой части равенства берется по всем элементам duo замкнутой поверхности; два других - по всем элементам dr объема,

ограниченного этой поверхностью. Производная вдоль нормали к по-

верхности вычислена в центре масс элемента duj и равна проекции скорости на эту нормаль. Функция должна быть однозначна внутри объема г.

35. Жидкость, занимающая бесконечное пространство.

Применим теорему Грина к сфере очень большого радиуса.

Согласно нашему предположению, жидкость покоится в бесконечности и будет равна нулю на всей поверхности этой сферы. Интеграл

в левой части равенства будет равен нулю. Первый интеграл в правой части также равен нулю, так как = 0; следовательно последний тоже равен нулю