так как Аср = О, то

и, следовательно.

J срАср dr = О,

dr = 0.

Из чего снова получаем

др др др дх ду dz

Таким образом, скорость равна нулю в любой точке сосуда.

37. Предыдущее доказательство имеет смысл только для одно-связного объема. Если сосуд многосвязный, то функция ip более не будет однозначной, и теорема Грина не применима.

38. 2° Двусвязный сосуд. Предположим, что сосуд двусвязный и имеет форму тора. Проделаем разрез по меридианной окружности: этот разрез пересекается замкнутыми кривыми второго рода. Функция скоростей ср является однозначной до тех пор, пока не пересечет разрез, а при его пересечении терпит разрыв, постоянный по всей поверхности разреза.

Если задана постоянная величина разрыва J вдоль кривой второго рода, то движение жидкости полностью определено.

Действительно, предположим, что существует два возможных решения, и пусть ср и ср - функции скоростей, соответствующие этим решениям. Пусть (р[ и (р2 - значения ср по обе стороны разреза, а (р{ и (р2 - значения ср. Получим

- 2 = 1 - 2 = Jo,

жидкости вблизи стенок может быть только касательной, т. е. нормальная составляющая равна нулю. Таким образом: an

= о и т. д.

д д д д д д

дх ~ дх ду ~ ду dz ~ dz

Составляющие скорости одинаковы в обоих случаях: таким образом, имеется единственно возможное движение.

39. 3° Трехсвязный сосуд. В этом случае необходимо сделать два разреза для того, чтобы представить объем в односвязном виде. Движение определено, когда заданы

где (fi - (р2 - разность значений ср с двух сторон первого, а (рз - 4 - второго разрезов.

Допуская существование двух решений (р и (р подобно предыдущему случаю, получим

Ср[ -(Р2= (Pi - (Р2, 3 - 4 = 3 - 4

Функция ср - ср является однозначной и непрерывной внутри объема, и из теоремы Грина следует

ср - ср = const

дер dip дх дх

где Jo - заданная постоянная; кроме того, пока разрез не пересекается, if и if являются однозначными. Вычитаем приведенные выше уравнения одно из другого и получаем

- 1 = 2 - 2

Таким образом, функция р - р имеет одно и то же значение по обеим сторонам разреза. Она является однозначной и непрерывной по всему объему и к ней можно применить теорему Грина. Следовательно, выведем

40. Вихрь, не равный нулю. В случае, когда вихрь не равен нулю, задача Гельмгольца определена и имеет одно и только одно решение.

Действительно, в чем же заключается эта задача? Речь идет о том, чтобы при заданных компонентах вихря , ту, ( определить значения и, V, W из уравнений

ди dv дп1 q дх ду dz

Предположим, что нашлось бы два решения

и = и

V = V

и = и

V = V

w = w, w = w.

Тогда получим следующие соотношения

dw dv

dy dz

dw dv

откуда

d{w - w ) d{v - v )

a также no аналогии и два других уравнения. Эти три уравнения выражают тот факт, что сумма

{и - u )dx + {v - v )dy + {w - w )dz

является полным дифференциалом dip. Таким образом, можно установить

и - и =

и т. д.