u = u , v = v , w = w .

Таким образом, задача допускает только единственное решение.

41. Пусть сосуд является многосвязным, тогда предыдущее доказательство недействительно. Необходимо ввести еще одно или несколько дополнительных условий.

Пусть, например, объем является двусвязным. Проделаем один разрез. Пусть Jo - значение интеграла, взятого по замкнутой кривой, пересекающей разрез только один раз.

Задача будет определена, если помимо , ту, ( задать величину Jo.

Запишем уравнение неразрывности для и = и..., а также для и = и ..откуда следует

Вычитая одну сумму из другой, получим

дх -

то есть

Aip = 0.

Если сосуд заполнен полностью, то нормальная составляющая скорости должна равняться нулю в каждой точке стенки сосуда. Пусть /, ш, р - направляющие косинусы нормали к стенке сосуда, тогда нормальная составляющая скорости будет иметь вид

1и + mv + pw.

Если эта составляющая равна нулю, то

1и + mv + pw = О, lu + mv + pw = 0.

Следовательно,

д(р dip dip dip dx dy dz dn

Если сосуд односвязный, то, рассуждая как и раньше в п. 36, найдем

dip dip dip = const, = = =0,

Таким образом, функция if остается однозначной, даже если избавиться от разреза. Она должна быть постоянной и, следовательно,

= и - и = о или и = и и т. д.

42. Если объем является трехсвязным, необходимо проделать два разреза. Для того чтобы определить задачу, помимо , ту, ( необходимо задать Jq - величину интеграла J, взятого вдоль замкнутой кривой, пересекающей один раз только первый разрез, а также интеграл Ji вдоль замкнутой кривой, пересекающей один раз только второй разрез.

43. Аналогия между уравнениями гидродинамики Гельмгольца и уравнениями электродинамики Максвелла. 1° Предположим, что рассматриваемая нами жидкость заполняет бесконечное пространство и покоится.

В этом случае система уравнений Гельмгольца имеет ту же форму, что и система уравнений Максвелла для магнитного поля.

Максвелл назвал и, v, w компонентами тока. Это значит, что через элемент поверхности duj, перпендикулярный оси Ох, за время dt проходит количество электричества uduj dtw т. д. Величины а, 7 являются компонентами напряженности магнитного поля, вызванного током;

Действительно, предположим, что могло бы существовать два решения {и, v, w) и {и , v , w ). Как и выше в п. 38, можно доказать, что справедливы следующие соотношения

- - -S.

с другой стороны

J и dx -\- v dy -\-wdz = Jo, J и dx + v dy + w dz = Jq. Вычитая почленно один интеграл из другого, получим

dip = 0.

а, b, с - составляющие вектора магнитной индукции, которые переходят в а, /?, 7 в отсутствии постоянного магнита и мягких магнетиков. Уравнение Максвелла

дЬ дс ду dz

при этом переходит в следующее

дх ду dz

Сравнивая две системы, получим Максвелл

ду dz

, da д-у

dz dx

dp da

дх ду dz

Гельмгольц

2 dw dv dy dz

2ri - - - - dz dx

0/ - dv du

~ dx dy

du dv dw q dx dy dz

Видно, что для того, чтобы уравнения Гельмгольца перешли в уравнения Максвелла, достаточно заменить , ту. С и, v, w на 27ггл, 27Г1;, 2kw, а, /3, 7- Кроме того, мы доказали, что если подобная система допускает решение, то это решение единственно.

Предположим, что нам известны величина и направление вихревого вектора. Разделим этот вектор на 27г и будем считать, что полученный таким образом вектор представляет собой электрический ток. Полученная таким образом система токов создает магнитное поле, вектор которого, кроме того, задает скорость частиц жидкости в той же точке. Таким образом, силовые линии магнитного поля аналогичны линиям тока гидродинамических течений.

44. Случай существования единственной вихревой трубки. Предположим, что существует единственная замкнутая вихревая трубка бесконечно малого сечения, в каждой точке которой вихрь имеет достаточно большое значение для того, чтобы момент трубки был конечен, и, наконец, что вихрь всюду, за исключением трубки, равен