нулю. Ввиду последнего предположения, вне трубки существует функция скоростей (р. Однако объем вне трубки является двусвязным, так как можно провести замкнутые кривые двух родов:

1° не пересекающие трубку, такие как С (рис. 14);

2° перекрещивающиеся с трубкой подобно кольцам цепи, как, например, С .

Интеграл J, взятый вдоль кривых первого рода, равен нулю, а взятый вдоль кривых второго рода равен не нулю, а моменту трубки.

Сечение трубки бесконечно мало, поэтому трубка может быть рассмотрена как замкнутая кривая, которую назовем осью трубки. Через ось вихревой трубки мы можем провести некоторую поверхность и принять за Рис. 14 разрез ее часть, ограниченную осью вихря. Все замкнутые кривые, не пересекающие такой разрез, будут кривыми первого рода, а пересекающие - кривыми второго рода п. 30.

45. Пусть функция ср равна нулю в бесконечности, что возможно, так как эта функция задана только ее производными и, следовательно, определена с точностью до постоянной. Для того чтобы определить значение (р в заданной точке Р, возьмем интеграл J вдоль кривой, соединяющей бесконечно удаленную точку с рассматриваемой точкой Р, не пересекая при этом разрез. Этого определения достаточно только в том случае, если функция ср однозначна, и, следовательно, значение, вычисляемое таким образом, не зависит от непрерывного пути, направленного из бесконечности в точку Р. Это условие выполняется. Действительно, рассмотрим два пути MQP, MRP, соединяющие очень удаленную точку М с точкой Р. Вдоль замкнутого контура MQPRM, который не пересекает разрез, интеграл J равен нулю. Отсюда

J dip+ j d(p = 0

MQP MRP

Вычисленное таким образом значение ср в точке М зависит от поверхности, выбранной в качестве разреза. Оно является одинаковым, если два разреза не заключают между собой точку М, и изменяется, если точка М находится между двумя поверхностями, последовательно выбранными в качестве разрезов.

Определим теперь значение функции ср. Пусть р - момент вихревой трубки

где duj - перпендикулярное сечение трубки, которое полагается бесконечно малым. Если заменить вихри (, ту, () на токи {и, v, w), то каждая составляющая тока будет равняться соответствующему компоненту вихря, разделенного на 27г. Сила тока, касательного к вихревой трубке, будет равна

i = -s/-\- -\- duj.

Следовательно,

р = 47гг.

Если определить значение г с помощью этого равенства, то сила магнитного поля и скорость частицы жидкости в точке будут представлены одним и тем же вектором. Функция скоростей будет представлять собой магнитный потенциал тока. В заданной точке, как известно, этот потенциал выражается через

где а - телесный угол, под которым виден контура тока из этой точки. Следовательно,

где а - телесный угол, под которым видна ось вихревой трубки из рассматриваемой точки.

Если бы имелось несколько вихревых трубок, то функция ip всей системы представляла бы собой сумму функций (i, ер2, ... каждой из трубок, для которых верно то же соотношение.

настоящее время принято название напряженность магнитного поля . - Прим. ред.

J = J {и dx -\- V dy -\- W dz) = fjL.

46. Случай прямолинейной и бесконечной вихревой трубки. Пусть вихревая трубка прямолинейна.

Применим использованную выше аналогию. Необходимо заменить трубку на бесконечный прямолинейный проводник с током силой

Согласно закону Био-Савара, действие этого тока на магнитный полюс М перпендикулярно плоскости MPQ и обратно пропорционально расстоянию г от точки М до прямой PQ. Таким образом, скорость частицы жидкости М будет перпендикулярна плоскости MPQ и обратно пропорциональна ее расстоянию от оси вихревой трубки.

47. Впрочем, этот результат может быть

получен непосредственно, без помощи сравнения V\

с электродинамикой.

В силу симметричности, скорость должна находиться в плоскости R, проведенной через точку М перпендикулярно прямой PQ. С дру-гой стороны, если рассмотрим плоскость PMQ, то эта плоскость, собственно говоря, не является плоскостью симметрии. Действительно, примем за плоскость рисунка плоскость R (рис. 15). Прямая PQ проектируется на эту плоскость в точку 7V, а MN является следом плоскости PMQ. Пусть вихрь имеет направление, определенное стрелкой, а скорость жидкости направлена вдоль MV.

Рассмотрим отражение рисунка относительно MN. Момент вихревой трубки сохранит то же значение, но при этом вихрь сменит направление. Таким образом, скорость сохранит свою абсолютную величину и расположение, но изменит направление и станет MV. Поскольку MV должен быть симметричен MV относительно MN, необходимо, чтобы MV был перпендикулярен следу плоскости MN. Следовательно, он перпендикулярен и плоскости MPQ, так как известно, что MV находится в плоскости R.

48. Для того чтобы найти величину скорости, напомним сначала,