= 0, TV = const.

В начальный момент времени в состоянии покоя 7V = О и в последующие моменты времени N также равен нулю. Таким образом, никакие силовые линии не пересекут поверхность S, т.е. составляющая магнитной силы, нормальная к этой поверхности, равна нулю.

56. Частный случай. Скорость параллельна плоскости ху и зависит только от X W у. Тогда имеются следующие соотношения

= 0, f = f = o.

dz dz

Если эти условия выполняются в начальный момент времени, то они будут выполняться всегда, когда:

1° жидкость бесконечна, так как любая плоскость, параллельная плоскости ху, является плоскостью симметрии;

2° жидкость заполняет цилиндр, параллельный оси Oz, бесконечный в обоих направлениях. Это также будет справедливо, если этот цилиндр ограничен двумя плоскостями, перпендикулярными оси z. Действительно, когда в жидкость вводится перегородка, то в общем на движение накладывается еще одно условие, а именно: что составляющая скорости, нормальная к перегородке, будет равна нулю в каждой ее точке. Но в рассматриваемом нами случае это условие выполняется до того, как присутствие помещенной перегородки не изменит движения.

57. Согласно гипотезам, выдвинутым нами ранее, справедливы следующие равенства

г> dw dv п ди dw п о/ dv du /кч

Действительно, пусть существует замкнутая окружность, N - поток магнитной силы, пересекающий окружность, а электродвижущая

сила индукции выражается через и по закону Ома равна

Для сверхпроводника = О и, следовательно,

Определение компонент скорости. Частный случай жидкости 57 и уравнение неразрывности приводится к виду

Все вихри параллельны оси Oz, все вихревые трубки являются цилиндрами с осью Oz.

Рассмотрим одну из этих трубок в ее движении. Покажем, что ее перпендикулярное сечение остается постоянным.

Действительно, рассмотрим часть жидкости, ограниченную поверхностью вихревой трубки и двумя перпендикулярными сечениями, отдаленными друг от друга на расстояние h.

Если обозначим через со площадь этого перпендикулярного сечения, то объем жидкости будет иметь вид hco.

Жидкость является несжимаемой, поэтому этот объем остается постоянным. С другой стороны, вихревая трубка сохраняется неизменной, и объем остается цилиндрическим. Частица, в начальный момент времени находящаяся в перпендикулярном сечении трубки, не покинет его, так как ее скорость расположена в этой плоскости. Таким образом, два сечения, ограничивающие цилиндр, всегда будут находиться на одинаковом расстоянии друг от друга. Поскольку hujwh постоянны, следовательно, и uj постоянна.

В частности, если рассмотрим вихревую трубку бесконечно малого сечения duj, то ее момент /х задан через соотношение

где duj должно быть постоянным так же, как /х и, следовательно, ( - константа, и

(, а не т.к. мы наблюдаем за частицей в движении, т.е. принимаем лагранжевы переменные).

58. Рассматриваемый нами случай был назван Гельмгольцем случаем прямолинейных вихрей:

Предположим, в частности, что имеется вихревая трубка, сечение которой плоскостью ху является окружностью радиуса R. Внутри этой окружности С = const, вне ее - ( = О? и, кроме того, существует функция скоростей. Примем за начало отсчета центр окружности.

Пусть М - некоторая точка (рис.21). Положим ОМ = р = + у.

В силу симметрии, скорость V точки М перпендикулярна радиус-вектору ОМ. Получим соотношения

u=-V, v = Vf,

где V зависит только от р. Возьмем интеграл

Рис. 21

J = J {udx -\- V dy) = J 2(du;

вдоль окружности, описанной вокруг центра О с радиусом ОМ = р. Этот интеграл представляет собой работу силы, представленной вектором скорости {и, V, w), по переносу материальной точки вдоль окружности. Вектор скорости имеет постоянную величину и направлен во всех точках по касательной к окружности, следовательно.

{udx -\- V dy) = 27rpV.

Получим другое выражение для J посредством интеграла f 2(dw, взятого по всей поверхности окружности ОМ. Разделяются два случая:

1° Точка М находится внутри окружности радиуса R {р < R); ( является постоянным внутри окружности р и

j = 27гСр = 27грУ.

2° Точка М находится вне окружности R {р > R), ( снова является постоянным внутри окружности R и равным нулю вне ее. Таким образом, справедливо равенство

J = 27tCR = 27трУ.

Отсюда выводим, что

если р меньше, чем R, и

v = c-

если р больше, чем R.

В последнем случае отметим, что момент вихревой трубки равен

27tCR = 27гш,