дх ду дх ду

Эти уравнения выражают то, что v + л/и является функцией от X + 2/\/-Т- В настоящем случае это легко проверить. Действительно,

V + л/-1и = т( , - Л =

+ 2/ х у ж +

Положим

тогда можем записать

+ v/=l = /() = f. (8)

61. Если имеется несколько вихревых трубок, то плоскость ху пересекает каждую из них по бесконечно малым окружностям, которые можно ассоциировать с точками а\, 2, ... , п? совпадающими с их центрами. Пусть 27ГШ1, 27ГШ2, ... , 27гШп - моменты этих трубок. Если al, а/, 2? - координаты точек а\, 2,..., то эти точки могут быть заданы мнимыми величинами

ах - а[ +

2 = 2 + \/ 25

m = ciг

тогда V принимает вид

Эта формула по-прежнему будет справедливой, если R становится очень маленьким, а ( очень большим так, что ш остается конечным.

59. Этот результат можно сравнить с тремя другими результатами.

1° Электродинамическая аналогия. Выше мы показали, что скорость частицы представлена тем же вектором, что и сила магнитного поля, произведенная, согласно закону Био-Лапласа, током, проходящим через вихревую трубку п. 45.

60. 2° Аналитическая аналогия. Вне вихревой трубки С = О- С!о-гласно этому условию и уравнению неразрывности (2) п. 57,

dv ди ди dv

Для того чтобы получить значение v-\-y/u, соответствующее первой трубке tti, достаточно применить формулу (8) переместив начало отсчета в точку ai, ... То же справедливо и для других трубок. Полное значение + будет суммой полученных таким образом частичных значений

Z - ai Z - а2 Z - an - Z - ak

Это выражение является производной функции

(Z) = m, log(Z-a,).

Пусть М - точка, задаваемая величиной Z, pi - расстояние Mai или модуль Z - ai. Также р2 = Ма25 -- - Рп = Man- Пусть uji - аргумент Z - ai, т.е. угол, который образует Mai с осью Ох, и так далее. В новых обозначениях

0{Z) = Y,mk logpk + VYl

ГПкШк

или, полагая

= mfclogpfc (9)

ip = mkU)k, (10)

получим

(Z)=V + \/. (И)

Дифференцируя это тождество по Z, отметим, что выполняются соотношения

dZ . dZ

e,z) = .,.u = f.%

Определение компонент скорости. Частный случай жидкости 61 Откуда, отождествляя,

дф дф

Из соотношений (13) видно, что ср является функцией скоростей.

62. 3° Электростатическая аналогия. Положим, что электрический заряд равномерно распределен по бесконечной прямой. Притяжение некоторой точки к этой наэлектризованной прямой обратно пропорционально расстоянию.

Заменим вихревую трубку равномерным распределением электрического заряда по ее оси. Притяжение точки М будет направлено по нормали, проведенной из точки М к оси.

Скорость была бы представлена тем же вектором, но с измененным на 90 градусов направлением. В случае нескольких трубок, предприняв ту же замену и сложив частичные притяжения, получим скорость, повернутую на 90 градусов.

Этот же результат можно получить, если полагать, что точки ai, 2, действуют на точку М обратно пропорционально расстоянию.

Если рассмотрим распределенные некоторым образом вихревые трубки, удаленные от точки М на бесконечно большое расстояние первого порядка, то притяжение (или скорость) будет бесконечно малой первого порядка.

63. Кривые (f = const, на которых аргумент е постоянен, в каждой их точке перпендикулярны вектору скорости. Действительно, для этих кривых справедливо равенство

dip = udx -\- V dy = 0.

Кривые ф = const, вдоль которых вещественная часть функции e{Z) или модуль е() постоянны, являются линиями тока. Действительно, вдоль этих кривых имеем соотношения

udx - V dy = О

dx dy