В электродинамике уравнения ер = const представляют эквипотенциальные линии, а уравнения ф = const - силовые линии. В этом заключается основное отличие электродинамики от электростатики.

Эти две системы кривых пересекаются под прямым углом.

64. Частный случай двух вихревых трубок. Если имеется только две вихревые тубки ai и а2, то функция 0{Z) включает только два члена

0{Z) = Ш1 log(Z - ai) + Ш2 log(Z - 2). Уравнение линий тока примет вид

Ш1 logpi + Ш2 logp2 = const.

Если mi = m2, то уравнение становится следующим

р1р2 = const.

Линии тока являются овалами Кассини.

Если Ш1 = -Ш2, то линии тока, представленные уравнением

- = const,

являются окружностями, по отношению к которым точки ai и а2 сопряжены.

Глава 4

Движение вихревых трубок

65. Теорема о сохранении центра масс. Предположим, что имеется п вихревых трубок ai, ? с моментами 27ГШ1 27ГШ2, ..V 27гшп. Допустим, что трубки перемещаются, но их моменты остаются теми же. Если считать Ш1,Ш2,... массами, тогда можно определить их центр масс G. Покажем, что во время перемещения трубок точка G остается неподвижной.

Пусть XI, у1, Х2, У2, , Хп, Уп - координзты вихрввых трубок tti, 25 ? п? а Хо, Уо - координаты точки G, эти координаты связаны между собой соотношениями

xomk = rrikXk,

УОГПк = ГПкУк

При рассмотрении трубок конечной размерности хо, Уо определяются аналогичным образом:

xoj2Cduj = J 2хС duj и т. д.,

где интегралы взяты по всем элементам duo сечения различных трубок.

Поскольку мы предположили, что моменты трубок остаются постоянными, а С и о; не зависят от t п. 57, то, продифференцировав по t, получим

f/c = /f< = /.C. (I)

Покажем, что этот последний интеграл равен нулю. Для этого рассмотрим интеграл

{и - v) dx -\- 2uv dy

взятый по всей длине окружности очень большого радиуса. Этот интеграл равен нулю. Действительно, для достаточно большого R, и и v

являются бесконечно малыми первого порядка п. 62; и, v, uv - бесконечно малые второго порядка, а путь интегрирования - бесконечно большой первого порядка. Таким образом, этим интегралом можно пренебречь.

С другой стороны, преобразуем этот интеграл по формуле (1) из

п. 8:

J [{и - v) dx + 2uv dy] = J Выполним дифференцирование

ay ox ay oy ox ox

- -2v( - + - - 2u( - - - \dx dy) \dx dy)

Учитывая уравнение неразрывности, получим

ди , dv

= 0,

дх ду

и, с другой стороны, по определению

dv ди о/-дх ду

Таким образом, имеем следующее выражение

j [{и - v)dx -\- 2uv dy] = -4: J иС duo.

Первый интеграл равен нулю, следовательно, второй также равен нулю. Таким образом, справедливо равенство

Так же можно доказать, что

dyo dt

= 0.

= 0,

и, следовательно, точка G неподвижна.

66. Движение центра масс вихревой трубки. Рассмотрим движение центра масс одной из вихревых трубок. Имеем соотношение

u( duj.