Интеграл J u(duj равен нулю, так как если бы первая трубка рассматривалась отдельно от остальных, то ее центр масс был бы неподвижным.

Следовательно, если мы захотим определить скорость центра масс одной из вихревых трубок, то будет достаточно вычислить скорости, сообщенные ей другими вихрями.

67. Пусть tti, ? - вихревые трубки. Положим

и, вообще.

Pik = dittk.

Рассмотрим функцию

Р = mirrik log pik, (2)

она зависит от 2п координат xi, yi, ... , Хп, Уп-

Можно определить и при этом получаем, что скорость

dt dt

точки xi, yi будет такой же, как если бы трубка ai не рассматривалась, а принимались во внимание только остальные трубки. Таким образом, согласно уравнению (12) п. 61 получим

dxi дф dyi дф dt dyi dt dxi

ф = тк logpi.

Положим

и = и -\- и ,

где и - скорость, возникающая в рассматриваемой трубке, если бы она была единственной, а и - скорость, возникающая за счет других трубок. Приходим к равенству

Эти формулы равносильны следующим

dxi dPi dyi дР

Действительно, функцию Р можно записать в виде

Р = mirrik log pik + шш log pik,

где ни один из индексов г и А: во второй сумме не равен единице.

С другой стороны, р с индексом 1 являются единственными, зависящими от xi и 2/1, следовательно,

дР d{Y,mklogpik) дф

- = 1--= -

OXi OXi OXi

и также

dyi dyi

68. В общем случае получим следующие уравнения

dx, dP dt - ду,

dyu дР dt dxk

В этой форме можно распознать гамильтоновы канонические уравнения с точностью до множителя ш. Для того чтобы точно привести их к каноническому виду, достаточно рассмотреть переменные

Xi,X2,...,Xn и miyi, т2У2, , ГПпУп-

69. Интегрирование уравнений. Интегрирование уравнений (I) возможно, когда существует только три вихревые трубки, что и будет нами доказано.

70. Теорема. Можно снова доказать теорему о сохранении центра масс. Действительно, функция Р зависит только от расстояний р, то есть только от разностей - 2, ... , 2/1 - 2/2, и т. д. Следовательно,

дР дР +dPQ

0У1 оу2 дуп

либо

шж = const.

и также

ГПкУк = const.

Таким образом, центр масс системы остается неподвижным.

71. Теорема живых сил. Умножим два уравнения (I) соответственно на -dyk и dxk, произведем те же действия со всеми аналогичными уравнениями и сложим их. Тогда получим

дР , V- дР

dP = 0,

Таким образом,

Р = const. (4)

Данное соотношение выражает теорему живых сил. Это сложно заметить сразу, поэтому нам придется устранить некоторые возникшие трудности. Действительно, согласно нашим предположениям, живая сила будет бесконечной по трем причинам:

1° Жидкость бесконечна во всех направлениях. Мы показали, что при введении двух плоских твердых перегородок, перпендикулярных оси Oz, движение не видоизменяется. Таким образом, можно ограничиться рассмотрением жидкости, заключенной между двумя плоскостями;

2° Даже учитывая это ограничение, живая сила снова будет бесконечной, поскольку жидкость бесконечна в плоскости ху. Составляющие скорости и и V на окружности бесконечно большого радиуса R первого порядка являются бесконечно малыми первого порядка п. 62. Элементарная живая сила при этом представляет собой бесконечно малую второго порядка, однако полная живая сила остается бесконечной.

Под живой силой понимается кинетическая энергия. - Прим. ред.