Р = j j dm dm log p

CCdujdujlog p

где интеграл вычисляется по всем сочетаниям элементов duj и duj, каждое из которых взято только один раз. Пусть х, у и х, у - координаты центров масс элементов du; и du;-, значение ф в точке {х, у) примет вид

/ /л м fdu;] ф= dm logp = /--

logp

Обозначив через 27гМ сумму моментов всех вихревых трубок, скорость на окружности радиуса R принимает значение

с точностью до бесконечно малых второго порядка.

Предположим, что М равна нулю, тогда скорость {и, v) является бесконечно малой второго порядка, элементарная живая сила является бесконечно малой четвертого порядка, и полная живая сила конечна.

3° Предположим также, что вихревые трубки не являются бесконечно тонкими, в противном случае скорость в окрестности этих трубок будет бесконечно большой первого порядка, а живая сила - бесконечно большой второго порядка.

72. Допустим, что живая сила конечна. Для этого достаточно, как мы увидели, чтобы: 1° жидкость ограничивалась бы двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными оси Oz, 2° сумма моментов всех трубок равнялась нулю; 3° трубки имели бы конечное сечение.

Рассмотрим два малых элемента поверхности duj и duj, соответствующих значениям С С вихря. Пусть 27т dm, 27т dm - моменты элементарных трубок, ограниченных этими элементами, так что

2С du; = 27Г dm,

2С duj = 2т: dm.

Слагаемое в Р, соответствующее этим элементам, имеет вид

dm dm log р,

где р - расстояние между элементами. Общая функция Р равна

21,Р

= 7Г J Cdcj. (6)

73. Эту формулу также можно получить, обращаясь к электростатической аналогии п. 62.

Действительно, если будем считать dm, dm электрическими зарядами, распространенными по элементам duo, duo, то функция ф будет представлять, с точностью до постоянного множителя, электростатический потенциал, а функция Р - электростатическую энергию. Как известно, между этими двумя функциями существует соотношение вида (6).

74. В выражении для Р заменим 2С на ее значение Рассмотрим интеграл

{v dy -\- udx). (7)

Взятый вдоль окружности очень большого радиуса, этот интеграл равен нулю, так как мы предположили (п. 72), что алгебраическая сумма моментов всех трубок равна нулю. При этом и w v имеют второй порядок малости, а длина окружности бесконечно большая только первого порядка. Преобразовав приведенный интеграл по теореме Стокса, получим

<d{v) d{u)

dx dy

после выполнения дифференцирования

-00 = О,

С другой стороны, справедливо равенство

27гР = JJdujdu; logp,

интеграл, взятый по всем сочетаниям {duj, duo), каждое из которых взято дважды так, что

dx dy dx dy

получаем

47ГР +

J {v + u)du; = 0. (8)

Таким образом, P представляет, с точностью до постоянного множителя, живую силу /{v + и) duj, и эта живая сила постоянна.

75. Теорема. Момент инерции масс т относительно оси Oz является постоянным.

Повернем систему вокруг оси z на бесконечно малый угол е. Пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, координаты xi и yi становятся

Хг - Уге, Уг + ХЕ,

Функция Р п. 71, зависящая только от расстояний pik, при этом не изменится.

Поскольку dP = О, получим уравнение

dPi.. , dP

В электростатической аналогии это уравнение означает, что сумма моментов сил притяжения, одних наэлектризованных прямых к другим, относительно оси z, равна нулю. Это очевидно, поскольку притяжения попарно равны и имеют противоположные знаки.

Если заменим 4 и 4 на и -rrii, то получим

dyi dxi dt dt

rrii (Xi

dxi dyi\

или, проинтегрировав,

mi{x] + у1) = const. (9)

Используя соотношения