или, умножая все члены на шш

dmirrik log Pik , dmiiTiklogpik -v dy.

dmirrik log Pik , dmimk log pik\

суммирование взято по всем значениям р, от единицы до п. Просуммировав получившееся уравнение по всевозможным сочетаниям i и к, получим

в силу уравнений (I) п. 68 это соотношение равносильно равенству

Yjp{p~ ~ Ур~) = (10)

Левая часть уравнения является суммой моментов количества движения, а правая - постоянной.

77. Итак, мы нашли три интеграла дифференциальных уравнений (I), свойства этих уравнений позволяют нам проинтегрировать их в квадратурах, если существует только три вихревых трубки.

76. Теорема. Сумма моментов количества движения относительно оси Z постоянна.

Если / является однородной функцией первой степени, то по теореме Эйлера

dx dy dz

или, наконец,

dx

Применим это выражение к функции Р. Функция pik является однородной функцией первой степени относительно Xi, yi, координаты Xk, Ук и другие не рассматриваются. Следовательно,

dlogpik dlogpik

dxi dyi

Действительно, наши уравнения имеют форму канонических уравнений Гамильтона, которые интегрируются в квадратурах, когда они содержат 2п переменных, и известно п частных интегралов. В случае трех вихревых трубок уравнения содержат шесть переменных Ж1, 2/1, 2/2, 3, Уз и найдено три частных интеграла.

Замечание редакции. В п. 77 остается неясным, какие три интеграла имел в виду А.Пуанкаре. В пп. 65, 70, 71, 75 им были найдены четыре различных интерала: координаты центра вихря

Р = niiXi = const, Q = Шг2/г = COnst,

гамильтониан

Н = rmmj log pij = const, и момент инерции относительно оси Oz

I = Шг(ж? -Vi) = const.

Сохраняющаяся величина (4.10) п. 76, очевидно, не является дополнительным интегралом, поскольку получается из гамильтониана с помощью некоторого тождества. Смысл же выражения (4.10) п. 76 в целом состоит, по-видимому, в приведении интересного свойства движения прямолинейных вихрей, аналогичного закону сохранения момента в небесной механике.

В общем случае приведенные четыре интеграла не инволютивны, поэтому простое их указание (даже всех четырех) не является доказательством интегрируемости системы. Гамильтониан Н и момент инерции / находятся в инволюции, третьим же интегралом в инволюции является Р + Q. Таким образом, задача 3-х вихрей действительно является интегрируемой. Современное изложение данного вопроса можно найти в книге А. В. Борисова, И. С. Мамаева Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике .

Глава 5

Случай двух вихревых трубок, метод изображений

78. Пусть существуют две вихревых трубки ai, а2, моменты которых - 27гш1 и 27гш2. Их центр масс G находится на прямой aia2 и определяется условием

(сегменты Gai, Ga2 взяты с их знаком).

Как мы уже показали в п. 65, точка G остается неподвижной. Скорость точки а2 будет такой же, как если бы существовал только один вихрь tti, то есть

0102

и эта скорость направлена перпендикулярно aia2.

Точка G неподвижна, три точки ai, G, а2 всегда находятся на прямой линии, а скорость точки а2 всегда перпендикулярна к радиус-вектору Ga2, поэтому траектория точки а2 представляет собой окружность с центром в точке G, радиус которой - Ga2. Траектория точки ai будет также окружностью с центром в точке G и радиусом Gai. Поскольку расстояние aia2 остается неизменным, то скорости двух точек, равные

соответственно и ттт-г будут постоянными. aia2 aia2

79. Пусть Ш1 и Ш2 будут противоположных знаков. Точка G будет находиться вне отрезка aia2 и определяться условием

Gai Ш2

В частности, если mi = -m2, то точка G находится в бесконечности и траектории точек ai и а2 превращаются в прямые, перпендикулярные aia2-

Обе трубки при этом движутся с одинаковой скоростью

aia2