Если рассмотрим точку М на середине отрезка aia2, то скорость, сообщенная этой точке вихрем ai, равна

aia2

= 2V.

Вихрь а2 сообщает такую же скорость

т2 mi 2у Ма2 aiM

Таким образом, результирующая скорость точки М равна четырехкратной скорости центров вихревых трубок.

80. Жидкость, заключенная в цилиндрическом сосуде.

Представим, что жидкость заключена в сосуде, имеющем форму цилиндра, образующие которого параллельны оси Oz. В этом сосуде находится вихревая трубка в форме бесконечно тонкого цилиндра, также параллельного Oz.

Пусть С (рис. 22) - сечение сосуда в плоскости ху, и А - точка, в которую проецируется сечение вихревой трубки.

Составляющие скорости и и v должны быть конечными и непрерывными во всей внутренней части сосуда, за исключением точки А.

Уравнение неразрывности приводится к следующему виду

Рис. 22

ди dv Q дх ду

Поскольку вихрь всюду, за исключением точки А, равен нулю, то справедливо равенство

dv ди г. дх ду ~

Известно, что при этих условиях п. 33 существует функция скоростей if такая, что

д дер

а уравнение неразрывности имеет вид

А(р = 0.

В настоящем случае граничное условие заключается в том, что контур С сечения сосуда будет линией тока, т.е., что в каждой точке контура скорость будет касательной к нему. Внутри С v -\- УЛи должна представлять собой функцию от х -\- у/у. Эта функция должна вести себя регулярно, за исключением точки А, где она обращается в бесконечность.

Определение и wv может производиться двумя способами:

1° Метод изображений, который применяется только в определенном числе простых случаев;

2° Метод конформных отображений, который является более общим.

81. Метод изображений. Предположим, что сосуд имеет форму кругового цилиндра, параллельного Oz с радиусом R, а окружность С - след этого цилиндра на плоскости ху. Пусть А - след вихревой трубки с моментом 27Г (рис. 23).

Соединим центр окружности О с точкой А и обозначим на прямой OA точку В, определенную условием OAOB = R.

Вихревая трубка, параллельная оси Oz, следом которой является точка В и момент которой равен -27г, называется изображением точки А по отношению к окружности С.

В бесконечном пространстве, заполненном жидкостью, трубки А и В образуют линии тока, представляющие собой окружности, по отношению к которым В и А были бы сопряженными (п. 64).

В частности, окружность С является линией тока; составляющая скорости, нормальная к окружности, и более обще, нормальная к прямому цилиндру, с окружностью С в основании, равняется нулю. Таким образом, введение твердой перегородки, имеющей форму такой цилиндрической поверхности, не изменит движения внутри рассматриваемой поверхности.

Центр масс трубки А перемещается с той же скоростью, как если бы существовала только одна трубка В, а жидкость была бы бесконечной. Скорость трубки А по абсолютной величине равна отношению 4

Рис. 23

и всегда направлена перпендикулярно радиус-вектору ОАВ. Таким образом, точка А описывает концентрическую окружность в с.

Эта траектория не является такой же, как если бы перегородки С не существовало, а поле скоростей оставалось бы тем же самым. Действительно, если жидкость бесконечна, то точка А движется по прямой, перпендикулярной OA п. 79.

82. Если радиус окружности бесконечно увеличивается, то кривая С в конце концов превращается в прямую, а точка В симметрична точке А относительно этой прямой или, иначе говоря, относительно плоскости с, в которую превращается цилиндр. Траектория точки А, перпендикулярная АВ, при этом становится прямой, параллельной следу плоскости С (рис. 24).

83. Жидкость, заключенная между двумя концентрическими цилиндрами. Пусть С и С - следы двух цилиндров вращения с осью Oz на плоскости ху, а Aq - след бесконечно тонкой вихревой трубки с моментом 27г (рис. 25).

Рис. 24

Рис. 25

Пусть Во - изображение следа Aq по отношению к С, Bi - изображение следа Ао по отношению к с, A-i - изображение следа Bi по отношению к с и так далее; в конечном итоге имеется бесконечное множество пар точек, сопряженных по отношению к с и с , что видно