г? B-i, B-i, Ai,

где индексы принимают значения от -ос до -\-ос. Рассмотрим каждую из точек А как след вихревой трубки с моментом 27г и каждую из точек В как след трубки с моментом -27г. Эти трубки будут сопряжены.

Предположим, что все эти трубки реально существуют и что жидкость заполняет бесконечный объем. Тогда скорость жидкости будет такой же, как если бы существовали перегородки с единственной вихревой трубкой А. Вычислим эту скорость, складывая скорости, обусловленные каждой отдельной трубкой. Таким образом, будет получен ряд и перед нами встает вопрос его сходимости.

Согласно соотношениям

OAoOBo=R\

получим

а так же

OBi (RY ОВо

Вообще говоря, справедливо равенство

ОБ = ОБо() . (1)

Таким же способом можно показать, что выполняется равенство

ОА =ОАо[у\ (2)

из следующей таблицы:

Сопряженные

По отношению к С По отношению к С Ао, Во, Bi, Ао,

А-1, Bi, Во, Ai,

1? B-i, В2, A-i,

Сгруппируем члены ряда следующим образом:

1° Члены, относящиеся к трубкам А с отрицательными индексами. Когда индекс п становится очень большим, точка А-п становится очень удаленной, а скорость, сообщенная точке М этой трубкой, становится очень маленькой, порядка --. Если точка А-п значительно удалена, то разность О А-п - МА-п незначительна и скорость имеет порядок -. Расстояние О А-п увеличивается в геометрической

прогрессии со знаменателем . Таким образом, ряд --j- являет-

ся сходящимся.

2° Члены, относящиеся к трубкам В с отрицательными индексами. Доказательство, идентичное предыдущему, приведет к тому, что ряд -- является сходящимся.

3° Сгруппируем попарно трубки с положительными индексами

Ао, 0 - 1, Bi - -An, Вп-Вычтем из равенства (1) равенство (2). Получим

А,Б, = Ао5о() . (3)

Трубки Ао, 0, , А, Вп имеют попарно равные, но противоположные знаку моменты. Геометрическая сумма скоростей, возникших в паре (А, Б), имеет такой же порядок величины, что и АБ; таким образом, она убывает в геометрической прогрессии со знаменателем и стремится к нулю, когда п стремится к бесконечности.

Следовательно, ряд является сходящимся.

Три частичных ряда являются сходящимися, следовательно, полный ряд также будет сходящимся.

84. Покажем, что окружности С и С являются линиями тока. Действительно, все трубки сопряжены подвое относительно окружностей С и С. Объединим трубки в группы из двух точек, сопряженных относительно С. Скорость возникающая в каждой группе, будет касательной к С, следовательно, сама полная скорость будет касательной к С. Для С имеем аналогичное доказательство.

85. Только что найденное нами решение не единственно, поскольку сосуд не является односвязным. Для получения более общего решения достаточно рассмотреть еще одну трубку с произвольным моментом М и следом в центре О. Действительно, скорость, обусловленная этой трубкой, является касательной к С и С , так как все линии тока являются окружностями с центром в точке О.

Траектория следа Aq, очевидно, является окружностью с центром О, т. к. скорость, обусловленная всеми трубками, всегда перпендикулярна радиус-вектору OAq.

86. Жидкость, заключенная между двумя прямоугольными плоскостями. Введем две плоскости xz и yz, ограничивающие жидкость. Пусть Ох и Оу - их следы, а Aq - след бесконечно тонкой вихревой трубки с моментом 27г (рис. 26).

Пусть Ai и А2 - точки, симметричные Aq относительно осей Ох и Оу, а Аз - точка, симметричная Ai относительно Оу, А2 относительно Ох и Aq относительно начала координат.

Припишем моменты:

Рис. 26

+ 27Г -27Г -27Г + 27Г

точке точке точке точке

Уберем перегородки и рассмотрим четыре трубки Aq, Ai, А2 и А. Оси Ох и Оу будут линиями тока, так как трубки сопряжены по две относительно этих осей. Следовательно, введение перегородок в плоскости XZ и yz не изменит движения.

Какой будет траектория точки Aq? В п.72 была найдена функция Р, которая в случае бесконечной жидкости пропорциональна живой силе. В отсутствии перегородок в системе из четырех трубок полная живая сила жидкости равна Р с точностью до постоянного множителя.