А0А3 = 2x/2 + 2/, MAq = 2y, A2A0 = 2x, Уравнение траектории точки Ао имеет вид

2 log 2 - 2 log 4:ху = const

х +у

-= const, ху

+ = const. х 2/

Итак, траектория точки Ао в рассматриваемом движении будет представлена полученной кривой, асимптотичной двум осям.

Более точно полученная кривая - Н-- = С асимптотична прямым х =

и у = -- Прим. ред.

Живая сила жидкости, заключенной между двумя плоскостями, является четвертой частью полной живой силы, которая получится при упразднении перегородок и заданная реальным существованием в трубках Ai, А2, A3.

Таким образом, живая сила реальной жидкости, заключенной между двумя плоскостями, снова пропорциональна Р и уравнение живых сил записывается в виде:

Р = const.

Как было показано выше,

Р = пцгпк log Pik.

в данном случае = =Ы и существует шесть членов, соответствующие шести расстояниям р, которые являются попарно равными. Для членов, которые соответствуют двум противолежащим вершинам четырехугольника, произведение шш = +1; для четырех других членов mirrik = -1. Таким образом,

Р = 2 log Ао Аз - 21ogAiAo - 21ogA2Ao = const.

Глава 6

Метод конформного отображения

87. Определение конформного отображения. Пусть существуют две плоские односвязные площади и точки М{х, у) и М{х, у) на этих площадях. Предположим, что между М и М установлено соответствие, такое что х и у являются функциями от х н у, т. е. каждой точке М соответствует только одна точка М, и наоборот. Если х и у - непрерывные функции от х и у, то при перемещении точки М точка М будет описывать кривую, и наоборот. Различным точкам границы первой площади будут соответствовать различные точки границы второй площади. Выбирая надлежащим образом функции х и у, можно добиться сохранения углов, т. е. образы кривых будут пересекаться под тем же углом, что и сами кривые. О таком отображении также говорится, что оно является конформным.

В случае конформного отображения бесконечно малый треугольник и его образ подобны. Следовательно, и любая бесконечно малая фигура так же подобна своему образу, поскольку ее можно разложить на попарно подобные треугольники.

88. Рассмотрим комплексную переменную х + /у. Если х + + \Гу является функцией от ж + \/-Т/, то углы сохраняются, и наоборот. Действительно, условия, выражающие этот факт, представимы в виде

dx dy

dx[ dy[ dy dx

Можно ли таким способом конформно отобразить кривую на себя?

Рассмотрим для примера некоторую окружность.

1° Этой окружности можно придать вращение вокруг ее центра;

2° Рассмотрим точку М внутри окружности. Пусть (ж, у) - координаты этой точки. Этой точке поставим в соответствие точку М{х, у), также находящуюся внутри окружности, при помощи

Пусть а + \/ЛЬ - аффикс точки О. Рассмотрим выражение

с + Vy =

, a{x + Vy)+

j{x + у) + д

Выберем а, 7, S таким образом, чтобы М описывала окружность одновременно с М, т.е. что модуль х-\-\/Лу был равен единице вместе с модулем х + V-ly.

Аффикс точки О , сопряженной с точкой О, имеет вид - .

а - лЛЬ

Пусть

х + V-ly =

x + Vy--

а - л/-1Ь

Условие

\х + /y\ = 1

равносильно следующему

= X -\- Vy.

X - \у

Таким образом, для точек окружности (ж, у) получим следующие формулы

, X + Vy - (а + Vb) 1

х + Vy =

X - V-ly а - /b

а-/Ь

х + rЛy =-----=7-Лх - fy)-

конформного отображения, при котором центру О соответствует некоторая точка О внутри окружности.

Примем радиус данной окружности за единицу. Аффикс точки М представлен комплексной величиной х-\-\/Лу, и уравнение окружности выражается в виде

\х + Vy\ = const = 1.