то получаем

х + у/у = О,

так что точка О является образом произвольно выбранной внутри окружности точки О.

89. Шварц предложил способ конформного отображения произвольной плоской площади на окружность. Однако процедура является довольно запутанной за исключением некоторых случаев.

Предположим, что мы можем произвести конформное отображение площади А на окружность таким образом, чтобы точка М площади А соответствовала точке М окружности, а точка Rq площади А - центру окружности. Покажем, что можно найти другое отображение площади А на ту же окружность, такое, что другая точка Р площади А будет соответствовать центру окружности. Действительно, пусть Р - точка окружности, соответствующая точке Р в первом отображении. Отобразим конформно окружность саму на себя так, что точке М соответствует точка М , а точке Р соответствует центр окружности. Такое отображение всегда можно произвести (см. п. 88).

Таким образом получим конформное отображение площади А. Действительно, пусть (ж, у), (ж, у) и (ж , 2/ ) являются координатами точек М, М и М , ж и 2/ являются функциями от (ж, у) и, следовательно, функциями от (ж, у), поскольку х и у являются функциями от ж и 2/. с другой стороны, так как оба последовательно произведенных отображения являются конформными, то общее отображение сохраняет углы. Наконец, если точка М совпадает с Р, то точка М переходит в Р, а точка М в центр окружности.

90. Задача Гельмгольца. Предположим, что сечение сосуда представляет собой кривую С. Пусть Aq - след вихревой трубки с моментом, равным 27Г. Как мы уже установили в п. 60,

V + л/Ли

является функцией от х -\- у/у.

Модуль двух дробей равен единице, так как оба их числителя и знаменателя сопряжены. Модуль х - л/у равен единице, следовательно, модуль х + \/-Т/ также равен единице.

Если

X + = + \/-Т&,

откуда

+ \/-1гл= --, (2)

сж dx dy

Пусть существует равенство

х + /y = е.

Это выражение будет функцией от ж + V-ly. Функции и и v ведут себя регулярно внутри кривой С, за исключением точки Ао, где и и v являются бесконечно большими первого порядка.

Добавим, что разность

V + л/и--

x + V-

остается конечной. Функция

Ф + V(p - log{x + Vy) = fi{x + Vy) также остается конечной, даже в точке Ао. Следовательно, выражение

е+ = {х + Vy)ef

не имеет сингулярной точки, поскольку два множителя ведут себя регулярно в точке Ао. Вдоль кривой С, которая является линией тока, ф = const. Поскольку является модулем е или х + \/Лу, следовательно, вдоль кривой С модуль х + л/-1у постоянен:

х + у = const. (I)

Рассмотрим точку М{х, у) внутри кривой С. При ее прохождении через всю площадь, ограниченную кривой С, точка (ж, у) пересечет площадь, ограниченную кривой, соответствующей С. Согласно уравнению (I), эта кривая является окружностью, центр которой соответствует точке Ао. Отображение является конформным, так как х + V-ly является функцией от х -\- \Гу.

-Точке Ло здесь, по-видимому, соответствует начало координат. - Прим. ред.

Таким образом, положим

91. Зная конформное отображение площади С, можно найти решение задачи Гельмгольца, и наоборот. Зная х + УЛу, получим

и = -

Здесь (f - функция скоростей (вне трубки Aq).

92. Для определения траектории центра тяжести трубки Aq будет более удобным прибегнуть к электростатическому сравнению.

Рассмотрим электрическое поле, определенное некоторым числом равномерно наэлектризованных прямых, перпендикулярных плоскости ху, длиной 2/, очень большой по сравнению с их расстояниями. Пусть концы всех прямых находятся в двух плоскостях Z = I и Z = -I.

Пусть АВ - одна из этих прямых (рис. 27); Р - некоторая точка на этой прямой с координатами х, у, z, а Р - бесконечно близкая к ней точка, координаты которой - ж, у, z + dz.

Если через S обозначим заряд на единице длины, то зарядом РР будет S dz и потенциал прямой АВ в точке М{х, у, z) будет иметь вид

Sdz MP

Рис. 27

Пусть р - расстояние от точки М до прямой, так что

MP=p + {z-zy,

тогда потенциал будет выражаться в следующем виде

У р2 + г)2

Положим