V = Slog-, = S log---.

- /3 + /pTW Р

Поскольку а и /3 очень большие по сравнению с р, то получим следующее приблизительное значение потенциала

т/ Я1 2VP V = log = 25\og---.

93. Если существует некоторое количество наэлектризованных прямых, то

у = -2 (5, log Pi + 2 log2VP-zYl Если сумма зарядов равна нулю

то потенциал

V = -2£Silogpi (5)

не зависит ни от /, ни от z.

Составляющая электростатической силы, параллельная Oz, как dV

и равна нулю.

94. Применение к гидродинамике. Пусть С - сечение сосуда, П - сечение вихревой трубки (рис. 28). Вихрь ( изменяется некоторым образом внутри сечения П и равен нулю вне этого сечения. Пусть 27Г - полный момент трубки:

2Cda; = 27r. (6)

тогда

v= >

Необходимо, чтобы выполнялось два уравнения: уравнение неразрывности

и уравнение

du dv Q dx dy

dv du 2 dx dy

Рис. 28

Соотношение (1) выражает, что и и v являются производными одной и той же функции ф{х, у)

di di dy dx

vdx - udy = d.

Подставляя значения и и v в выражение (2), получим

= 2С.

Таким образом, вне сечения П

А = 0,

и существует функция скоростей. Кривая С должна быть линией тока, т. е. вдоль этой линии должно выполняться равенство

dxd и V

dx dy

Следовательно, вдоль С

ф = const.

Поскольку ф определена только через свои производные, то необходимо, чтобы эта постоянная всегда равнялась нулю.

Тогда функция ф будет удовлетворять тем же условиям, что и функция ф, определенная в задаче Гельмгольца. Функция ф зависит только от ж и 2/, а сумма зарядов равна нулю, так как заряды цилиндров С и П равны и имеют противоположные знаки.

В точке поверхности цилиндра С поверхностная плотность заряда /х будет такой, что

р ds = i.

где S - дуга кривой С.

Следовательно, потенциал выражается в виде

ф = -2 j р ds\ogp-2 j р duj logp = + ф (10)

(через ф обозначим первый интеграл, а через ф - второй).

95. Теперь заменим в трубке П каждую бесконечно тонкую трубку на наэлектризованную прямую длиной 2/, плотность заряда на которой пропорциональна Предположим, что пространство, заключенное между П и С, заполнено диэлектриком, а вне С - цилиндрическим проводником с контуром С в качестве основания. Если этот проводник заземлен, то его потенциал ф равен нулю, и по всей длине С получим -0 = 0.

Однако по С распределяется электрический заряд, равный заряду на П, но противоположный по знаку (теорема Фарадея). Надлежащим выбором коэффициента пропорциональности, связывающего плотность заряда с С, потенциал можно представить функцией которая была определена в п. 94.

Внутри контура С в диэлектрике справедливо равенство

А = 0.

Внутри цилиндра П имеем

= -47г/х . Таким образом, достаточно принять

=4 < )