- +log 202,

а в П

ф -log2VP-z

Здесь было использовано, что f р ds = -\- и f р duj = Составляющие электростатической силы имеют вид

dф dф

dx dy

Необходимо совершить вращение на 90° для того, чтобы получить составляющие скорости, которые примут следующие значения

# # dy dy dx dx

96. Предположим, что трубка является бесконечно тонкой, ее след сокращается в точку G, а момент остается равным 27г.

Весь заряд будет сосредоточен на прямой G, перпендикулярной плоскости ху. Вблизи этой прямой электрическая сила и, следовательно, скорость будут бесконечно большими. Таким образом, выражение ф будет иметь вид

ф = -21ogpo J р duj = logpo.

где - расстояние от точки М до прямой, проведенной из центра тяжести трубки параллельно оси z.

Действительно, с точностью до бесконечно малых высокого порядка, р равняется ро [MP равняется MG (рис. 28)]. Если рассматриваемая

Заметим, что ф не является потенциалом, возникшим только в цилиндре С, а ф - только в цилиндре П, так как сумма зарядов в этих цилиндрах, рассматриваемых по отдельности, больше не равны нулю.

Выражение потенциала в цилиндре С будет следующим (п. 93)

-2 Jр ds logp + 21og2\ 2 -2 j

Следовательно, и и v бесконечно растут, хотя их первые члены и остаются конечными, иначе говоря, функции

I dlogpo dlogpo dy dx

остаются конечными, даже в точке G.

Таким образом, функция ф должна удовлетворять следующим условиям:

Функция должна быть конечной и непрерывной также, как и ее производные на всей площади ограниченной кривой С, кроме точки G; в каждой точке этой площади она должна удовлетворять уравнению Лапласа Аф = О и быть равной нулю в каждой точке контура С. Наконец, функции

dlogpo dlogpo dy dx

должны оставаться конечными вблизи G.

Поставленная таким образом задача допускает только одно решение. Это решение будем называть конформным отображением.

97. Действительно, допустим, что нами получено конформное отображение площади С на поверхность, ограниченную окружностью единичного радиуса с центром в начале координат. Предположим, что точка G соответствует центру окружности. Точке М{х, у) площади С соответствует точка М{х, у) внутри окружности, а х -\-л/у является функцией от ж + \/-Т/- Положим

l0g( + Vy) =ф-\- V(p.

Покажем, что функция

ф = log + у

удовлетворяет всем требуемым условиям.

точка М бесконечно приближается к G, то ро стремится к О и становится бесконечно большой. Напротив, ф остается конечной, поскольку р остается конечной, даже если точка М бесконечно приближается kG.

ф - logpo = вещественной части log

X + у/у - {хо + у/Уо)

где при X + Vy = + V-iyo выражение х + Vy обнуляется и становится простым нулем. Итак, величина под знаком логарифма в точке G больше не обнуляется.

98. Скорость точки G. Скорость точки G определяется уравнением (1) п. 65:

dt или

1с< = 1 <

Покажем, что интеграл Г Cdu; = 0. Действительно, если бы пе-

регородки С не существовало, то составляющие скорости выражались бы следующими соотношениями

- -

dy dz

Действительно,

А = 0,

т. к. ф является вещественной частью аналитической функции.

Отметим, что вдоль всего контура С справедливо равенство ф = О, так как отображение контура С является окружностью:

Выражение ф - logpo остается конечным. Оно могло бы быть бесконечным только в точке G, соответствующей точке О, для которой

х + 2/ = 0.

Пусть Хо, Уо - координаты точки G, так что

ро = \{х + Vy) - {хо + \/2/о).

При этом

х + Vy