Следовательно, остается

здесь будет одним из значений, которое принимает отноше-

ние - внутри сечения П вихревой трубки. Если трубка бесконечно dy

тонкая, то это значение мало отличается от того, которое принимает функция в точке G.

Таким образом, для того чтобы вычислить примем производив

ную -- и заменим х и у на координаты точки G xq, уо. Вычислим

таким же образом = f .

at \ ах / о

99. Электростатическая аналогия. Рассмотрим точку М на плоскости ху. Вследствие симметрии (поскольку концы электрических прямых полагаются в плоскостях z = =Ь/, находящихся на равных расстояниях от плоскости ху), электрическая сила, действующая в точке М, будет располагаться в этой плоскости. Ее составляющие выражаются через Сила порождается зарядом цилиндра П и поверхностью С. Следовательно, ее можно рассматривать как равнодействующую двух сил. Первая вызвана зарядом на поверхности С, и ее компоненты равны

d d dlog2VP-z dx dy dz

Однако в этом случае центр тяжести G вихревой трубки неподвижен:

dt J(doj

откуда

-Cduj = 0.

dx dy

0; 0.

dx dy

Вблизи точки G компоненты второй силы становятся очень большими. Первая при этом остается конечной и, согласно предыдущему параграфу, поворачивая ее на 90°, получим скорость точки G.

100. Траектория точки G. Для того чтобы найти эту траекторию, или скорее, одно из ее главных свойств, поскольку не всегда возможно получить ее уравнение в конечной форме, удобно вновь прибегнуть к электростатическому сравнению.

101. Сначала напомним некоторые теоремы электростатики, которыми мы впоследствии воспользуемся.

Теорема 1. Пусть существует электрическое поле, и в нем находятся проводники с зарядами Mi, М2, ... , Мп- Значения потенциала в точках нахождения зарядов Vi, V2, ... , Vn- Если поле претерпевает изменения, то работа, произведенная электрическими силами, равняется приращению суммы

\ (М1У1 + M2Y2 + ... + МпУп) = i 5] МУ.

Теорема 2. Пусть две системы проводников S и S действуют друг на друга {здесь не учитываем силы, с которыми проводники одной системы действуют на проводники этой же системы).

Для простоты формулировки предположим, что проводники очень малы и уподобляются точкам. Если бы это было не так, то было бы необходимо разложить каждый проводник на бесконечно малые элементы.

Если точка М находится на плоскости ху, то третья компонента становится равной нулю. Вторая сила, вызванная П, имеет следующие компоненты

# # dlog2VP -z dx dy dz

Второй член потенциала цилиндра П не зависит ни от х, ни от у.

В плоскости ху третья компонента также становится равной нулю, и мы получаем две силы, компоненты которых

МУ + МУ.

Если имеется бесконечное число электрических масс, то теоремы также верны. Однако в формулах суммы необходимо заменить на интегралы J.

102. Применим эти теоремы при рассмотрении электрического поля, определенного нами в п. 95.

Силы, действующие в этом поле, образуют четыре группы:

Заряды р взаимодействуют друг с другом с силами Fi; заряды р действуют на заряды р посредством сил F2; заряды р действуют на р посредством сил и, наконец, заряды р взаимодействуют между собой с силами F3.

Разложим цилиндр П на бесконечно малые элементы следующим образом. Разобьем цилиндр П на бесконечно тонкие цилиндры сечением duo, параллельные Oz, а затем рассечем эти цилиндры плоскостями, параллельными плоскости ху. Объем каждого элемента получится равным duj dz, а его заряд - p dujdz.

Компоненты силы F2, относящиеся к этому элементу, будут иметь

, , # , , # , , d\og2y/W

а duj dz-, а duj dz-, а duj dz---;-.

dx dy dz

Заметим, что сечение цилиндра П полагалось очень маленьким и d d

внутри этого сечения и имеют постоянное значение. Точка приложения равнодействующей сил F2 находится внутри П: таким образом, она находится очень близко к прямой, проведенной через точку G

Пусть Ml, М2, ... , Мп - электрические заряды проводников, составляющих систему S, VI, V2, ... , - потенциалы, порожденные системой S в точках, где находятся эти заряды. Пусть М[, М2,

- заряды в системе S и Vi, V2, ... , Vn - потенциалы, порожденные системой S в точках расположения этих зарядов.

Работа сил при действии системы S на систему S, увеличенная на работу сил при действии S на S, равняется приращению функции

Ml vi + M2v + ... + Mr,v; + M[Vi + ... м; к