представляет собой функцию только от р. Положим

и продифференцируем обе части по х. Отсюда следует, что

дф QV др дх дх рдх

В первом уравнении Лагранжа заменим на величину, полученную

р (Ух

из этого соотношения. Учитывая, что = X, окончательно имеем:

dt дх dt ду dt dz

Заметим, кроме того, что какова бы ни была жидкость, плотность давление р и температура Т связаны некоторым отношением:

Р = fip, п

Для того чтобы доказываемый далее результат был справедливым, необходимо, чтобы р была функцией только от р. Это возможно, если рассматривать идеальную жидкость или газ, которые подчиняются закону Мариотта. Согласно этому закону температура постоянна [р = р), или если речь идет о газе, то можно предположить, что он подвергается адиабатическому преобразованию {р = р). Если температура не является постоянной, то необходимо, чтобы поверхности с равными давлениями совпадали с поверхностями равных температур. Также, если имеются две несмешиваемые жидкости, необходимо, чтобы давление было постоянным на поверхности раздела, для которой можно непосредственно применить теорему.

Если р является функцией от р, то - точный дифференциал, а

= /(

+ V--h w-

da da da

Необходимо доказать, что

5. Теорема Гельмгольца. Рассмотрим бесконечное количество частиц жидкости, образующих в момент t = О замкнутую кривую Со; в момент t эти частицы образуют другую замкнутую кривую С (2). Интеграл

J = J{udx-\-V dy-\-W dz), (8)

взятый вдоль кривой С, постоянен.

Указанная форма интеграла отличается от формы Гельмгольца, первоначально введенной им в своей теореме, но, как мы увидим далее, эквивалентна последней.

В частности, в этой теореме содержится результат Лагранжа, утверждающий, что если в начальный момент времени существует потенциал скоростей, то он существует и в любой другой момент времени.

Действительно, в этом случае имеем:

udx -\- V dy -\- W dz = dcp,

интеграл J равен нулю в начальный момент времени. Если интеграл постоянен, то он всегда равен нулю, а выражение под знаком интеграла J - всегда полный дифференциал.

6. Доказательство теоремы. Уравнения замкнутой кривой Со имеют вид:

Хо = /о( ), Уо = /о( ), 0 = /Л )

где /о, /о, fo являются непрерывными и периодическими функциями от а. Для кривой С имеем аналогичное представление:

ж = /( ), 2/= /( ), z = f (a). Предположим, что величина А является периодом по переменной а:

При этом я считаю, что каждая из сумм является полным дифференциалом.

Таким образом.

dt da дх da

дх da дх da ду da dz da da откуда следует, что

dt da

С другой стороны.

dadt da 2 da 2

Следовательно,

Подынтегральное выражение является полным дифференциалом, интеграл, взятый по замкнутой кривой, равен нулю, а поэтому

f = 0. (9)

7. Замечание. Эта теорема справедлива при условии, что с? - полный дифференциал, иначе говоря, что р является функцией от р. При этом внешние силы допускают потенциал, то есть в системе отсутствует трение. Иногда об этом последнем условии говорят, что теорема справедлива при отсутствии мгновенных силЧ Эта формулировка не совсем точна.

Forces instantanees (франц.) - Прим. ред.

Действительно,