V dm,

где V - потенциал, в котором находится бесконечно малый заряд dm, интеграл взят по всем массам. В рассматриваемом нами случае полный потенциал равен ф. Следовательно, искомая работа равняется приращению суммы

i J фр dujdz j фр ds dz,

где duj является сечением одного из элементарных цилиндров, полученных разложением О.-, а ds - элемент контура С такой, что поверхность С разбивается на прямоугольники площадью ds dz.

Заметим, что ф, р и р не зависят от 2: и что необходимо произвести интегрирование в пределах от 2: = -/ до 2: = +/. Тогда это выражение примет следующий вид

Положим

j фр du; + / J фр! ds.

Р = J фр du; + J фр ds. Работа электростатических сил представлена выражением

d8 = ldP.

104. Выполним аналогичные вычисления для сил Fi. Заряд одного маленького цилиндра равен р duo dz, а его потенциал -

ф -\og2/P -z.

параллельно оси Oz. Обозначая через 1 полный заряд который полагается сосредоточенным на этой прямой, получим равнодействующую сил F2 со следующими компонентами

-А Ж. 0.

dx dy

103. Оценим работу этих сил и начнем с полной работы четырех видов электростатических сил Fi, F2, F2 и F3.

Как мы уже напомнили, работа электростатических сил представлена приращением интеграла

105. Предположим, что трубка перемещается. Скорость ее центра тяжести выражается следующими составляющими

/#\ dyo = (] dt \ dy J 0 dt \ dx J о

Выражением {- обозначается значение, которое принимает {~ когда x и у заменяются на координаты xq, уо точки G.

следовательно, получаем

di = dj[ф - log202T]/i du; dz =

= \d j ф л duJdz -\d jp duj\og2JP -z dz =

= ldj ф Ji duJ -\d j p duj j log2/p dz,

поскольку /i не зависит от z. Два последних интеграла постоянны. Тогда, полагая

р = 1фу аш,

получим выражение для работы сил Fi:

IdP.

Работа других сил F2, F2 и F3 будет представлена разностью

ld{P-P).

Таким образом,

Р-Р = / /i du;+ фр ds,

где ф представляет собой потенциал в точках на контуре С. Этот потенциал равняется нулю, поскольку цилиндр С заземлен: следовательно, второй интеграл также равен нулю. Первый интеграл должен быть взят по всей площади П. Так как эта площадь бесконечно мала, то ф имеет почти постоянное значение на всей своей протяженности, равное значению в точке G, ф. Таким образом, можем записать

Массы /х перемещаются и при этом задают распределение заряда по поверхности С.

В плоскости ху составляющие силы F2 имеют вид

# # dx dy

Следовательно, равнодействующая сил F2 нормальна к траектории точки G и не производит никакой работы. То же самое получим в случае с силами F2 и F3. Действительно, равнодействующая этих сил нормальна к проводнику С (поскольку в электростатике силовые линии всегда нормальны к проводникам), массы /х перемещаются, оставаясь при этом на поверхности проводника и, следовательно, перпендикулярны направлению силы. Таким образом, эти силы не производят работы.

Полная работа сил F2, F2 и F3 равна нулю.

Из чего следует, что

d{P - Р) = О, Р - Р = const.

и, наконец,

-00 = const. 106. Траектория является замкнутой кривой. Предположим, что было произведено конформное отображение площади С на окружность К с центром в точке О (рис. 29). Точке G {xq, уо) соответствует точ- Рис. 29

ка С (0, 2/0)5 а точке М (ж, у) - точка М{х, у). Положим

х + = + =

Z является некоторой функцией от f{Z), а Zq - та же функция от Zq. Положим также

xo-Vyo = K

Для того чтобы можно было применить формулы, необходимо найти другое конформное отображение такое, при котором точке G соответствует точка О, а точке М - точка М {х , у ) так, что

х + у = Z = {Z).