При смещении точки G, вид функции ер будет изменяться, а вид функции / останется тем же, поскольку в определении функции / точка G не играет никакой роли.

Как было показано в п. 88, достаточно принять

ZUi - 1

Действительно, если modZ = 1, то modZ = 1. Если Z = Zo, то Z = Zq и Zq = О, т.е. точке G соответствует только точка О.

Функция Z является функцией от х и у:

ф= вещественная часть log Z = log Z , = logpo,

полагая

po = MG=\Z-Zol

ф = log

= log

-\og\ZU,-l\.

Пусть ф является значением этого выражения для Z = Z. Применяя правило Лопиталя, получаем

V = log -\og\ZUo-l\ =

= log

-log[l-\ZX].

Следовательно, уравнение = const можно записать в виде

= const.

Итак, траектория всегда будет представлять собой замкнутую кри-

вую.

Глава 7

Движение вихревых трубок. Основные теоремы. Трубки вращения

107. Вихревые трубки вращения. Предположим, что в бесконечной жидкости существуют вихревые трубки с вращательной симметрией относительно оси Z. Если в начальный момент времени это условие выполнено, то оно будет выполнено всегда. Плоскость, проходящая через ось z, будет плоскостью симметрии.

Пусть М - некоторая точка жидкости. Проведем меридианную плоскость, проходящую через эту точку (рис. 30), и рассмотрим изображение системы в этой плоскости. При преобразовании симметрии скорость точки М не должна изменяться. Вследствие этого она постоянно находится в этой меридианной плоскости.

Рис. 30

108. Рассмотрим бесконечно тонкую трубку, образующую нечто вроде тора (рис. 31). Пусть duj - его перпендикулярное сечение, R - расстояние от центра масс этого сечения до оси Oz. Объем трубки

должен оставаться постоянным. Вихрь и перпендикулярен меридианной плоскости, и момент трубки имеет значение

2(j duj,

постоянное по всей длине трубки. Поскольку duo - постоянно, необходимо, чтобы а также было постоянным и зависело только от 2: и от R. Полагая:

x = Rcos(p, у = Rsimp, z - z,

в настоящее время принято название вихревые кольца . - Прим. ред.

получим

а = f{R, z).

с другой стороны, момент трубки должен оставаться неизменным во времени. Следовательно, то же dco самое будет справедливо для .

R . .

109. Необходимо найти функции и, v, w, удовлетворяющие уравнениям

2 dw dv 2г7 = - - - dy dz dz dx

2/ - dv du du , dv , dw q Рис.31 dx dy dxdydz

Эти уравнения имеют тот же вид, что и уравнения Максвелла. Если

V С

заменить вихревые трубки на токи с составляющими то

ZTT ZTT ZTT

функции и, V, W будут составляющими магнитного поля, определенного этими токами.

Максвелл ввел так называемый векторный потенциал, компоненты F, G, Н которого определены условиями

=-ит.д. (2)

dy dz

и который удовлетворяет условию

dFdGdH dx dy dz

Подставляя и, v, w в (1), находим

AF + 47г = О

AF + 47r = 0.

Следовательно, F является потенциалом притягивающей материи, плотность которой равна Пусть х, у, z - координаты точки поля.

Данное уравнение записано в обозначениях п. 43. Под и понимается составляющая электрического тока. - Прим. ред.