114. Непосредственное доказательство уравнения XdT=

= 0. Пусть поверхность S, например, является сферой с центром в начале координат и с очень большим радиусом R. Пусть duj - элемент этой поверхности; I, т, п - направляющие косинусы нормали к этому элементу. Покажем, что интеграл

(гл + + w) - u{lu + + nw)

равен нулю.

Действительно, мы предположили, что все наши вихревые трубки находятся на конечном расстоянии. Точка поверхности, расположенная на очень большом расстоянии R от начала координат также будет на очень большом расстоянии (такого же порядка, что и R) от вихревых трубок. Вектор {и, v, w) представляет скорость или магнитную силу. Известно, что эта магнитная сила изменяется обратно пропорционально R. Таким образом, если мы рассматриваем R как бесконечно большую первого порядка, то и, v, w будут бесконечно малыми третьего

порядка, как а и R

- бесконечно малыми шестого порядка.

Поверхность, по которой взят интеграл, является бесконечно большой, но только второго порядка, поэтому интеграл равен нулю. Преобразуя этот интеграл по известной формуле

получим

dx dx dx

-u- - u- - u - dx dy dz

du du du -u---V---w

= 0.

dx dy dz

Вторая строка равна нулю в силу уравнения неразрывности. Принимая во внимание уравнения (1), получим:

2 / dr{vC - WT]) = О,

Выражение в квадратных скобках представляет собой обыкновенную сумму входящих в него слагаемых. - Прим. ред.

или

Xdr = 0.

115. В теореме о моментах получим аналогичное уравнение: I{Ху - Yx)dr = О,

dr = 0. (9)

у X О

и V W

С V С

116. Альтернативное выражение живой силы Т. Для того чтобы получить это выражение, вспомним вначале следующую теорему электродинамики:

Теорема. При перемещении проводников без изменения силы тока работа электродинамических сил равна приращению электродинамической энергии.

Пусть ds - элемент тока силы i. Рассмотрим вариации дх, ду, dz координат X, у, z этого элемента:

{Xdx + Ydy + Zdz)dT=

Допустим, в частности, что Sx, Sy, Sz пропорциональны х, у, z, так

Sx = sx, Sy = sy, Sz = sz,

где s - бесконечно малая константа, и преобразование сводится к умножению всех расстояний на 1 + г. Предположим, для ясности, что существуют только два тока. В этом случае,

т = {ы + 2Мп + т),

ST = + 2SMn + SNi).

В частном преобразовании, которое мы произвели, токи остаются подобными относительно начала координат. В электромагнитной системе L, М, N - длины. В силу однородности, эти длины должны быть помножены на 1 + г. Следовательно,

SL = Ls, SM = Ms, SN = Ns

и, наконец,

ST = Ts.

{Xx + Yy + Zz)edT=,

сокращая е и заменяя X, Y, Z их значениями,

X У Z и V W

с V с

ir = , (8)

или, обозначая определитель через D,

117. Жидкость, заключенная в сосуде. При рассмотрении жидкости, полностью заполняющей сосуд, можно еще раз прибегнуть к электродинамическому сравнению при условии, что сосуд будет помещен в сверхпроводник.

Максвелл доказал, что токи в таком проводнике локализованы на поверхности, и эта поверхность образует электродинамический экран (поверхностный ток). Теоремы, сформулированные ранее, будут оставаться справедливыми, при включении в рассмотрение этого поверхностного тока.

118. Рассмотрим точку поверхности сосуда. Скорость частиц жидкости, находящихся внутри сосуда, расположена в касательной плоскости. В точке, бесконечно близкой, но расположенной с другой стороны поверхности, жидкость покоится. Следовательно, скорость разрывна. Эту разрывность можно заменить введением вихревой трубки. Действительно, рассмотрим частный случай плоской поверхности, например, плоскости ху, где жидкость находится под этой плоскостью. Над плоскостью скорость будет равна нулю, снизу она будет постоянной и параллельной Ох.

Предположим, что изменение скорости происходит не внезапно, а непрерывным образом, хотя и очень быстро. В переходном слое и будет некоторой функцией от z:

и = f{z)

Эта формула, очевидно, остается справедливой для любого, в том числе и бесконечного, числа токов. Таким образом, имеем