Движение вихревых трубок. Основные теоремы. Трубки вращения 107 и производная

будет отличной от нуля. Согласно сделанным предположениям, и - функция только от Z, и V = W = 0. Тогда и ( равны нулю, а

отлична от нуля и очень велика.

Таким образом, вихрь, заменяющий разрывность, будет параллельным плоскости разрыва и перпендикулярным скорости и.

119. Если поверхность раздела является кривой, а скорость переменной, то теорема также справедлива. Чтобы ее доказать, достаточно разложить поверхность на достаточно малые элементы, чтобы можно было рассматривать эти элементы как плоскости, а скорость постоянной на всей их протяженности. Всегда возможно выбрать толщину слоя перехода, которая будет очень маленькой даже по отношению к этим элементам. Поэтому поверхность можно заменить на слой вихревых трубок. Согласно предыдущему доказательству, каждая из трубок будет лежать в плоскость элемента, т.е. в касательной к поверхности плоскости, перпендикулярно скорости в рассматриваемой точке.

120. Сила (X, F, Z), представляющая электродинамическое воздействие на элемент тока должна быть одновременно перпендикулярна току и магнитной силе. Ток лежит в касательной к поверхности сосуда плоскости. Магнитная сила направлена подобно скорости и также лежит в касательной плоскости. Таким образом, сила (X, F, Z) направлена по нормали к поверхности сосуда.

121. Чтобы применить к настоящему случаю теоремы, доказанные нами для бесконечной жидкости пп. 113-116, необходимо учесть две группы электродинамических сил: 1° силы, которые действуют на токи, заменяющие вихревые трубки; 2° силы, действующие на поверхностные токи, введенные вместо поверхности.

В некоторых частных случаях дополнительные члены, порожденные второй группой сил, которые необходимо добавить в наши уравнения, будут иметь сумму равную нулю.

Например, если сосуд имеет форму цилиндра, образующие которого параллельны оси Ох, то на поверхность, по которой течет ток.

v( dz du; = 0.

Поскольку V, с не зависят от z, можно проинтегрировать по 2: в пределах от 2: = О до 2: = 1, откуда получим:

vC du; = 0. (9)

действуют силы, нормальные к поверхности и к оси Ох. Сумма проекций сил на ось Ох будет равна нулю. Таким образом, первая теорема п. 113 остается справедливой без изменений.

Если сосуд является телом вращения относительно Oz, то сумма моментов дополнительных сил относительно оси Oz равна нулю, поскольку все эти силы пересекают ось Oz. Таким образом, вторая теорема п. 113 также будет справедливой.

Если сосуд является сферой или пространством, заключенным между двумя концентрическими сферами, то вторая теорема справедлива для произвольной оси, проходящей через центр, поскольку сфера является поверхностью вращения относительно такой оси.

Если сосуд ограничен двумя плоскостями, параллельными, например, плоскости ху, то его можно рассмотреть как сосуд вращения вокруг оси Z или как цилиндр, параллельный Ох и Оу, и применить замечания относительно этих разных случаев.

122. Цилиндрические вихревые трубки, параллельные оси Oz. При данных условиях = г] = О, w = О, при этом (, и, v зависят только от z.

Движение не изменится (п. 56), если ограничить часть жидкости двумя плоскостями, параллельными плоскости ху, например: z = О, Z = 1. Обе теоремы п. 113 по-прежнему применимы. Определим элемент dr. Разложим плоскость ху на элементы поверхности duo и примем каждый из этих элементов за основание цилиндра, параллельного Oz и ограниченного плоскостями 2: = 0и2: = 1. В итоге, пространство, заключенное между двумя плоскостями будет поделено на бесконечное количество таких цилиндров. Затем проведем плоскости, параллельные плоскости ху, отстоящие друг от друга на dz. Объем, ограниченный одним из цилиндров и двумя такими плоскостями, примем за элемент dr, т.е.:

dr = du; dz. Выражение из первой теоремы примет вид

Движение вихревых трубок. Основные теоремы. Трубки вращения 109 Таким же способом найдем

J uCdu; = 0. (10)

Если разложить определитель п. 116, то вторая теорема примет

{хи + yv)( dzduj = о

или, если проинтегрировать по z,

{хи + yv)Cduj = 0. (11)

123. Итак, мы вновь приходим к теоремам, доказанным нами в предыдущих главах.

Центр тяжести всех вихревых трубок остается неподвижным, что можно выразить следующими уравнениями

J x(du; = const, J y(du; = const,

a момент инерции трубок относительно некоторой оси, параллельной Oz, остается постоянным. Относительно самой оси Oz, например:

J {х + У)С duj = const. (12)

Дифференцируя эти уравнения по t, получаем

У (ж+у)саа) = J {хи + yv)C (L; = 0.

И вновь приходим к уравнениям (11), (12) и (13). Наконец, учитывая, что сумма моментов количества движения трубок относительно Oz равна нулю, получаем следующее выражение

{иу - vx)C duo = const