dp J n

(15)

Теперь преобразуем определитель D, умножая его на другой, равный единице.

xcoscp -\- ysincp -xsincp -\- ycoscp z cos(p -\- T]simp -simp -\- T]COSip ( и cos (p-\-V simp - и simp-\-V COSip w

dp dt

Если подставим это значение D в соотношение (10), то получим следующее выражение:

J Ddr = J Dpdujdif = 2,/,

4,/....(.-.)=T.

(16)

-B связи с ошибкой в расчетах, вместо этого уравнения Гельмгольц предложил следующее:

Впрочем, наличие множителя 2 не влияет на результаты, которые мы продемонстрируем и которые полагаются только на рассмотрение порядка величины различных множителей. - Прим. автора.

Необходимо взять интеграл по всем элементам duj одной половины плоскости zy в пределах от (р = О до (р = 27г.

Поскольку подынтегральное выражение не зависит от (р, то можно проинтегрировать по ср и записать

Действительно, если дифференцировать это последнее отношение по отмечая при этом, что а duj представляет собой момент трубки и является постоянным, то вновь придем к уравнению (17). Предположим, что

adujM, (1)

apdu; = MR, (2)

где М будет постоянной, так же как и MR.

Если а повсюду имеет один знак, то R будет находиться между крайними значениями р, ро и pi.

Действительно, пусть ро - максимальное значение тогда:

MR < J apl duj

MR < pI j adcj = Mpl, также можно было бы доказать, что следовательно,

ро> R> pi.

Если трубка бесконечно тонкая, то ро и pi очень мало отличаются друг от друга и от среднего радиуса трубки. Этот средний радиус также будет мало отличаться от и может быть рассмотрен как постоянная, также как и R. Таким образом, единственное движение, которое может произвести трубка, сводится к переносу, параллельному оси Oz. Какой будет скорость переноса? А priori очевидно, что она будет постоянной.

126. Величина скорости. Пусть существует единственная бесконечно тонкая трубка кругового сечения и ее радиус остается постоянным. Соотношение (17):

/--

выражает, что

ар duj = const.

J 27г

dl и т. д.

Пусть прямолинейная трубка параллельна оси х.

В данном случае отношение постоянно. Величина F была бы по-

тенциалом равномерно наэлектризованной бесконечной прямой. В точке, бесконечно близкой к прямой, этот потенциал имеет порядок logp, где р является расстоянием от точки до прямой.

128. Пусть теперь существует круговая трубка или круговой ток, рассматриваемый вместо трубки. В плоскости, нормальной к окружности в точке О, выберем точку М очень близкую к О. Найдем магнитную силу и векторный потенциал в точке М, порожденные круговым током, и сравним их с теми, которые были бы порождены прямолинейным ток-

так как при переносе положение трубки относительно Oz не изменяется. Отсюда можно было бы заключить, что скорость зависит от формы сечения.

Ничего подобного! Скорость является постоянной и очень большой, как было доказано Гельмгольцем на основании уравнения (3), с учетом

порядка величин Т, С/, v и

Если сечение трубки бесконечно тонкое, то точка, расположенная на конечном расстоянии от трубки, будет иметь конечную скорость. А точка, расположенная в окрестности этой трубки, будет иметь очень большую скорость. Радиус сечения трубки и расстояние от этой точки до края этого сечения будут всегда очень малыми по сравнению с R. Для получения приемлемой аппроксимации рассмотрим близкую к трубке цилиндрическую область и применим к ней формулы для цилиндрических трубок.

127. Рассмотрим бесконечно тонкую прямолинейную трубку. Для того чтобы определить скорость, заменим эту трубку на бесконечный прямолинейный ток. Скорость представлена тем же вектором, что и магнитная сила, следовательно, она обратно пропорциональна расстоянию от рассматриваемой точки до оси тока. В точке, бесконечно близкой к этой прямой, скорость будет бесконечно большой. Таким образом, живая сила Т - бесконечна.

Векторный потенциал (F, G, Н) определяется соотношением: