1 = J aPdT = J aPpdujdif,

или, проинтегрировав по (р,

/ = 27гУ aPpdcj.

Момент трубки J а duo мы рассматриваем как конечный по условию. Потенциал Р имеет порядок logpo? следовательно, живая сила будет также этого порядка, то есть очень большой. Что же касается скорости, то она того же порядка, что и притяжение рассмотренного выше цилиндра, то есть i.

131. Скорость движения. Положим

А = J apzdu; = MRzo, (5)

MR = J (jp duj = const, (6)

г Zo - ордината точки, расположенной внутри меридианного сечения трубки. Действительно, пусть zi w Z2 - крайние ординаты этого сечения.

Покажем, что zi > zq > Z2 Действительно, справедливо равенство j apzi duj = zi J ap duo = ZiMR. С другой стороны,

j (jpzduj < j apzidcj

zoMR < ziMR

Zo < Zi.

Таким же образом можно доказать, что zq > Z2.

130. Порядок величины живой силы. Пусть Р - векторный потенциал, а - вихрь и они перпендикулярны меридиану. Живая сила выражается

из уравнения (3) п. 125 полу

dA dt

С другой стороны, из уравнения (3) п. 125 получим:

47г*

Следовательно,

dA dt

Считая, что zo постоянна, из уравнения (1) выводим

:Zo du;, (8)

Из уравнений (7) и (8) получаем:

Первое слагаемое в правой части конечно. Действительно, интеграл J aduj является конечным также как и а производная является составляющей скорости вдоль радиус-вектора. Это очень большая величина порядка . Разность z - zq меньше, чем диаметр s сечения

трубки. Таким образом, {z - zq) - конечно.

Следовательно, можно пренебречь первым членом в правой части и ограничиться следующим выражением:

dzo Т 1

dt 47г MRl Из этого уравнения следует, что

1°. Скорость - очень большая, того же порядка, что и живая dt

сила Т.

2°. Она существенно постоянна, поскольку сила Т - постоянна. Справедливо, что первый член является переменным, однако мы доказали, что он незначителен по сравнению с Т.

Продифференцируем А по t, и поскольку момент трубки а duj является постоянным, то

132. Порядок величины скорости. Непосредственное доказательство. Известно, что скорость {и, V, w) представлена тем же вектором, что и магнитная сила. Пусть АВ - элемент тока ds (рис. 34); Р - магнитный полюс, равный единице. Сила, с которой элемент АВ действует на этот полюс, перпендикулярна плоскости РАВ и выражается

АВ X г

Рис. 34

где АВ - проекция АВ на перпендикуляр к РА, % - сила тока иг - расстояние АР.

По абсолютной величине:

АВ X % ids

Разложим нашу вихревую трубку на элементы объема и заменим каждый из них элементом тока. Если а - интенсивность вихря, то

сила тока должна быть равна

(7 duj

п. 43, следовательно.

I ds =

ads duo а dr

где duj - элемент сечения, dr - элемент объема трубки. Верхний предел скорости будет иметь вид:

а dr

27гг

Разложим трубку на элементы следующим образом. Примем точку Р за центр и опишем концентрические сферы. Эти сферы ограничат в трубке объемы, имеющие формы сферических сегментов. Рассмотрим, в частности, один из таких сегментов, ограниченный сферами радиуса г и г -\- dr, а также интеграл

а dr

Итак, вихревая трубка будет перемещаться с очень большой скоростью параллельно оси Oz.