будет ли эта деформация увеличиваться или же жидкость будет стремиться вновь принять свое первоначальное движение?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам необходимо изучить изменения скорости {и, v) при этих деформациях.

Мы нашли в общем виде (п. 94), что

и = --

dy dx

= - у -logp. Если мы перейдем к полярным координатам, полагая: X = г cos ср, у = г sin ср, то составляющие скорости примут вид:

г dip

dip d dt dr

135. Частный случай. Предположим, что существует единственная цилиндрическая трубка, для которой перпендикулярное сечение является окружностю. Внутри этой окружности ( постоянно. Скорость в некоторой точке будет (г внутри цилиндра

вне его, где го - радиус перпендикуляр-

ного сечения. При этом

Предположим, что цилиндр претерпевает небольшую деформацию, так что, например, точка М переходит в Mi, а радиус-вектор ОМ = = S становится функцией от времени t и угла ip, определенного на окружности с некоторым первоначальным диаметром ОХ (рис. 37).

За время dt точка Mi перейдет в М{, а полярные координаты ip и s получат приращения:

dt г dr

Рис. 37

ds = -

г dip

(11)

dt г dep г dr dep Разложим s no кратным гармоникам ер согласно формуле Фурье:

S = Го + ttn cos + Ьп sin пер. (12)

Полная поверхность трубки не должна изменяться. Следовательно, постоянный член равен го с точностью до бесконечно малых второго порядка. Величины an и Ьп являются функциями от f, независимыми от ер и очень малыми, поскольку были предположены очень малые деформации. Функция ф с точностью до константы является потенциалом притягивающей материи, которая создается гравитирующим цилиндром,

образующим трубку с плотностью Чтобы упростить дальнейшую

запись, положим С = 1-

Потенциал ф можно рассматривать как образованный из двух частей: одной, фо, вызванной недеформированным цилиндром, другой, дф, - деформированными частями (заштрихованными на рис. 37). Толщина этих деформированных частей не очень значительна. Потенциал будет иметь то же значение, если вместо задания постоянной объемной плотности определить поверхностную плотность, пропорциональную их толщине S - го-

Эта поверхностная плотность будет иметь вид , что приводит к следующему выражению

s-rp (п cos mp + Ybn sin пер ~ЪГ -

Потенциал 6ф является функцией от г и ер, и, следовательно, можно записать:

дф = Сп cos пер + dn sin пер.

Для внешней точки притягивающих слоев функция 6ф удовлетворяет уравнению Лапласа:

А{дф) = 0.

С другой стороны, поскольку S - функция от (f и t, имеем

dep dt

откуда, заменяя ds и dep их значениями и разрешая относительно получим

ds # dep ds

Следовательно,

А{сп cos пер) = о, A{dn sin пер) = О, где Сп и dn - функции только от г, так что

с, = сг + c>- dr. = dr- + <r-

где с, с, б?, б? - постоянные.

Поскольку не должно стремиться к бесконечности одновременно с г, необходимо, чтобы выполнялось условие

сп = dn = 0.

Для внутренней точки функция отличается от предыдущей. Необходимо, чтобы она оставалась конечной при г = го. Следовательно, внутри цилиндра имеем следующее равенство:

Отсюда следует, что для внешней точки следует положить:

= Х]<§п() cosn( + /in() sinncp, (14)

а для внутренней точки:

Ф = 8п () cos n<p + Y к () sinri. (15)

Потенциал остается непрерывным при пересечении притягивающей поверхности. Таким образом, две формулы (14) и (15) должны иметь одинаковое значение при г = го. Для этого требуется, чтобы

Однако при пересечении поверхности сила испытывает внезапный скачок, равный произведению плотности на 47г. Выражение для силы следующее:

1° во внешней точке:

= -п( \{gnCosmp + hnS\nmpy, (16)

2° во внутренней точке:

= \{gnosnip + hnS\nnip). (17)